Corrigé du Contrôle de Maths : Fonction Inverse et Suites en Terminale STI2D

Ce sujet de mathématiques pour Terminale STI2D évalue les compétences sur la fonction inverse et les suites géométriques à travers deux exercices pratiques. Le premier est un problème d'optimisation complet, tandis que le second applique les suites à une situation concrète d'usure de matériel. Ce corrigé détaillé offre une analyse pas à pas pour maîtriser les savoir-faire requis. Mots-clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Terminale STI2D, fonction inverse, suites géométriques, optimisation, étude de fonction, dérivée, tableau de variation.

Exercice 1 : Une cuve de récupération d'eau de pluie (Problème d'optimisation)

L'objectif de cet exercice est de déterminer les dimensions d'une cuve cylindrique de volume fixe (1 m³) qui minimisent la surface de tôle utilisée. C'est un problème d'optimisation classique structuré en trois parties.

• Partie A : Mise en équation
  La première étape est la modélisation. En utilisant la formule du volume d'un cylindre \(V = \pi r^2 h = 1\), on exprime la hauteur en fonction du rayon : \(h = \frac{1}{\pi r^2}\). Ensuite, on établit la fonction de la surface totale, somme des aires des deux bases et de l'aire latérale : \(S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h\). Après substitution de \(h\), on obtient la fonction à étudier : \(S(r) = 2\pi r^2 + \frac{2}{r}\). Cette étape valide la capacité à transformer un problème concret en un modèle mathématique impliquant la fonction inverse.
• Partie B : Étude de la fonction
  Le cœur de l'exercice est l'étude des variations de \(S(r)\) pour en trouver le minimum. Le processus est le suivant :
  1. Calcul de la dérivée : On dérive \(S(r)\) pour obtenir sa fonction dérivée, \(S'(r) = 4\pi r - \frac{2}{r^2}\).
  2. Recherche des extremums : On résout l'équation \(S'(r) = 0\) pour trouver la valeur de \(r\) qui annule la dérivée. L'équation se ramène à \(r^3 = \frac{1}{2\pi}\).
  3. Tableau de variations : On étudie le signe de \(S'(r)\) pour dresser le tableau de variations de \(S(r)\), qui révèle la valeur de \(r\) assurant une surface minimale.
  Cette partie mobilise des compétences essentielles d'analyse de fonction : dérivation, résolution d'équation et construction d'un tableau de variation.
• Partie C : Exploitation des résultats
  La dernière partie consiste à interpréter les résultats. On calcule les dimensions optimales de la cuve et on démontre, dans une question ouverte, que pour cette configuration, la hauteur est égale au diamètre (\(h=2r\)). Une application numérique finale permet de comparer la solution optimale à une autre et de chiffrer l'économie de matière en pourcentage.

Exercice 2 : L'encrassement d'une pompe de relevage (Suites géométriques)

Ce second exercice modélise la perte de débit d'une pompe par une suite géométrique, un cas d'application fréquent de ce chapitre.

• Identification et définition de la suite
  Le débit initial est \(d_0 = 45\) m³/h et diminue de 5% par mois. Il s'agit de reconnaître un processus de décroissance exponentielle. La première étape est de prouver que la suite \((d_n)\) des débits mensuels est géométrique. La raison est le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 5%, soit \(q = 0.95\). On établit ensuite la forme explicite de la suite : \(d_n = 45 \times (0.95)^n\).
• Applications de la suite géométrique
  Une fois le modèle établi, on l'utilise pour des calculs concrets :
  1. Calcul d'un rang (seuil) : On détermine le nombre de mois nécessaires pour que le débit devienne inférieur à 34 m³/h. Cela revient à trouver le plus petit entier \(n\) solution de l'inéquation \(d_n < 34\), une tâche qui se résout efficacement avec la fonction table d'une calculatrice.
  2. Calcul d'une somme de termes : On calcule le volume total pompé sur les 12 premiers mois. Cela nécessite de calculer la somme des 12 premiers termes de la suite, en utilisant la formule \(S_{n} = u_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\).
  3. Analyse et comparaison : Finalement, on évalue la perte de production due à l'encrassement en comparant le volume pompé à un volume idéal (débit constant), puis en exprimant cette perte en pourcentage.
  Cet exercice couvre ainsi l'ensemble des compétences attendues sur les suites géométriques dans un contexte appliqué.