Ce document propose un corrigé complet et détaillé pour un contrôle de mathématiques de niveau Terminale, spécialité Maths Expertes, portant sur le chapitre des matrices. Ce sujet de 40 minutes, prévu sans calculatrice, évalue les connaissances fondamentales et la capacité de raisonnement sur les opérations et propriétés des matrices.

Ce corrigé pas à pas est une ressource idéale pour les élèves souhaitant s'entraîner, comprendre leurs erreurs et maîtriser les compétences essentielles sur les matrices avant une évaluation. Chaque question est analysée en profondeur, avec des justifications claires et des rappels de cours si nécessaire.

Question de cours

La question de cours porte sur la définition fondamentale du produit d'une matrice par un réel (scalaire). La définition attendue est : Soit \(A = (a_{ij})\) une matrice de taille \(m \times n\) et \(\lambda\) un réel. On appelle produit de la matrice \(A\) par le réel \(\lambda\) la matrice \(\lambda A = (c_{ij})\) définie par : \(\forall (i; j) \in \{1, ..., m\} \times \{1, ..., n\}, c_{ij} = \lambda a_{ij}\). Cela signifie simplement que chaque coefficient de la matrice est multiplié par ce réel.

Exercice

L'exercice est composé de 8 questions balayant un large spectre de compétences sur les matrices.

1. Conditions d'addition et de multiplication

L'affirmation « Si on peut calculer la matrice A + B, alors on peut calculer la matrice AB » est fausse. Pour que \(A+B\) soit défini, \(A\) et \(B\) doivent avoir la même taille (même nombre de lignes et de colonnes). Pour que \(AB\) soit défini, le nombre de colonnes de \(A\) doit être égal au nombre de lignes de \(B\). Un contre-exemple simple : si \(A\) et \(B\) sont deux matrices de taille \(2 \times 3\), on peut les additionner, mais leur produit n'est pas défini car le nombre de colonnes de \(A\) (3) est différent du nombre de lignes de \(B\) (2).

2. Résolution d'une équation matricielle

On doit déterminer la matrice \(C\) telle que \(3F - 2C + I_3 = O_3\), où \(F\) est une matrice 3x3 donnée, \(I_3\) la matrice identité d'ordre 3 et \(O_3\) la matrice nulle d'ordre 3. On isole \(C\) comme dans une équation du premier degré :

$$ 2C = 3F + I_3 \implies C = \frac{1}{2}(3F + I_3) $$

En calculant \(3F\) puis en ajoutant \(I_3\) et en divisant chaque coefficient par 2, on obtient la matrice \(C\).

3. Produit de matrices

Il est demandé de calculer le produit \(FG\), avec \(F\) de taille \(3 \times 3\) et \(G\) de taille \(3 \times 2\). Le produit est bien défini et le résultat sera une matrice de taille \(3 \times 2\). Le calcul s'effectue en utilisant la règle du produit matriciel : le coefficient à la ligne \(i\) et colonne \(j\) de \(FG\) est le produit scalaire de la \(i\)-ème ligne de \(F\) par la \(j\)-ème colonne de \(G\).

4. Compatibilité des dimensions pour un produit en chaîne

On analyse la condition d'existence du produit \(GCPEFN\). En notant les tailles des matrices : \(G(3 \times 2)\), \(C(2 \times 2)\), \(P(m \times n)\), \(E(4 \times 3)\), \(F(3 \times 3)\), \(N(2 \times 1)\). Pour que le produit soit défini, les dimensions internes doivent correspondre à chaque étape :

• \(GC\) : \((3 \times 2)(2 \times 2) \rightarrow\) OK, donne du \(3 \times 2\).
• \((GC)P\) : \((3 \times 2)(m \times n) \rightarrow\) il faut \(m=2\).
• \((GCP)E\) : \((3 \times n)(4 \times 3) \rightarrow\) il faut \(n=4\).
• Donc \(P\) doit être de taille \(2 \times 4\).
• La suite du produit est \((GCPE)F\) qui est \((3 \times 3)(3 \times 3) \rightarrow\) OK, donne du \(3 \times 3\).
• L'étape finale est \((GCPEF)N\) : \((3 \times 3)(2 \times 1) \rightarrow\) Impossible car le nombre de colonnes (3) est différent du nombre de lignes (2). Le produit n'est donc pas défini.

5. Retrouver des coefficients manquants

On doit résoudre une équation matricielle pour trouver des coefficients inconnus. L'équation est de la forme \(A X = B\) où \(X\) contient les inconnues. En effectuant le produit matriciel, on obtient un système de deux équations linéaires à deux inconnues qu'il faut résoudre :

$$ \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 2 \\ c & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & 5 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \implies \begin{cases} 3a - c = 11 \\ a + 2c = -1 \end{cases} $$

La résolution de ce système donne les coefficients manquants.

6. Factorisation d'expressions matricielles

Cette question teste la connaissance des propriétés de l'algèbre matricielle, notamment la non-commutativité.

• a. \(H^2 - 7H = H(H - 7I_p)\). Il est crucial d'utiliser la matrice identité \(I_p\) car on ne peut soustraire un scalaire (7) à une matrice (H).
• b. \(5AH + HB\) n'est généralement pas factorisable car la multiplication n'est pas commutative. On ne peut pas mettre \(H\) en facteur à gauche ou à droite.
• c. \(2HA + 3BA = (2H + 3B)A\). Ici, la factorisation par \(A\) à droite est possible grâce à la distributivité à droite de la multiplication sur l'addition.

7. Construction d'une matrice à partir d'une définition

On doit écrire explicitement une matrice carrée \(B\) d'ordre 4 dont les coefficients sont définis par une condition : \(b_{ij} = 2\) si \(i \geq j\) et \(0\) sinon. Cela donne une matrice triangulaire inférieure avec des 2 sur la diagonale et en dessous.

8. Trace d'une matrice et propriétés

a. Il s'agit d'écrire une matrice diagonale \(D\) d'ordre 4 dont la trace (somme des éléments diagonaux) est 9. Une solution simple est \(diag(9, 0, 0, 0)\).

b. L'affirmation « Une matrice carrée A est strictement triangulaire si, et seulement si, Tr(A) = 0 » est fausse.

• Sens direct : Si \(A\) est strictement triangulaire, alors tous ses éléments diagonaux \(a_{ii}\) sont nuls. Donc \(Tr(A) = \sum a_{ii} = 0\). Cette partie est vraie.
• Sens réciproque : Si \(Tr(A)=0\), la matrice est-elle nécessairement strictement triangulaire ? Non. Le contre-exemple est la matrice \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\). Sa trace est \(1 + (-1) = 0\), mais elle n'est pas strictement triangulaire.