Découvrez un sujet de contrôle complet sur le chapitre des matrices, destiné aux élèves de Terminale avec l'option Mathématiques Expertes. Ce devoir, d'une durée d'1h15 et sans calculatrice, est un excellent outil de révision pour maîtriser les concepts fondamentaux du calcul matriciel, des suites de matrices et de leurs applications géométriques. Ce document propose une analyse détaillée pour chaque question, vous permettant de vous auto-évaluer et de progresser. Les mots-clés pour ce sujet sont : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Terminale, Maths Expertes, matrices, puissances de matrices, matrice inverse, suite de matrices, géométrie, rotations planes.

Exercice 1 : Calculs et propriétés fondamentales des matrices (9 points)

Cet exercice est composé de cinq questions indépendantes qui balayent les savoir-faire essentiels du calcul matriciel. Il teste la compréhension des définitions de base et des propriétés importantes comme l'inversibilité.

• Question 1 : Il s'agit de construire une matrice carrée \(A\) de taille 4 dont les coefficients \(a_{ij}\) sont définis par une condition sur leurs indices \(i\) et \(j\). C'est un excellent test de compréhension de la notation matricielle.$$ a_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \\ j-i & \text{si } i < j \\ 0 & \text{si } i > j \end{cases} $$
• Question 2 : Pour une matrice \(B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\), on demande de calculer ses premières puissances, \(B^2\) et \(B^3\). L'objectif est ensuite de prouver que \(B\) est inversible sans utiliser le calcul du déterminant, une méthode classique étant de trouver un polynôme annulateur. Enfin, il faut donner sa matrice inverse \(B^{-1}\).
• Question 3 : On étudie une matrice \(C = \begin{pmatrix} x & -x \\ 1 & 2x \end{pmatrix}\) dépendant d'un paramètre réel \(x\). La tâche consiste à déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles la matrice \(C\) est inversible. Cela revient à trouver quand son déterminant est non nul.
• Question 4 : Cette question porte sur le calcul de la puissance \(n\)-ième d'une matrice \(D = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}\). Il faut trouver une expression de \(D^n\) en fonction de \(n\), souvent en identifiant un motif après avoir calculé les premières puissances et en le démontrant par récurrence.
• Question 5 : Il s'agit d'une application directe du calcul matriciel à la résolution de systèmes d'équations linéaires. On doit résoudre le système \( \begin{cases} 2x + y = 3 \\ x - 2y = 1 \end{cases} \) en le traduisant sous la forme matricielle \(AX=Y\) et en utilisant la matrice inverse \(A^{-1}\).

Exercice 2 : Étude d'une suite de matrices (8 points)

Cet exercice aborde les suites de matrices, un prolongement naturel des suites numériques vues dans le tronc commun. Il s'agit d'étudier une suite arithmético-géométrique matricielle de la forme \(U_{n+1} = AU_n + B\).

• Question 1 : La première étape consiste à établir une formule explicite pour la puissance \(n\)-ième de la matrice de transition \(A\). Il est demandé de démontrer par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a :$$ A^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 & n2^{n-1} \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 2^n \end{pmatrix} $$
• Question 2 : On cherche ensuite la matrice colonne \(S\), qui représente l'état stable ou le point fixe de la suite. Elle est solution de l'équation \(S = AS + B\). La résolution de ce système est une étape clé.
• Question 3 : Pour simplifier l'étude, on introduit une suite auxiliaire \(V_n = U_n - S\). L'objectif est de démontrer que \((V_n)\) est une suite géométrique de raison \(A\), c'est-à-dire qu'elle vérifie la relation \(V_{n+1} = AV_n\).
• Question 4 : À partir de la nature géométrique de \((V_n)\), on doit en déduire une expression de \(V_n\) en fonction de \(n\) et de \(V_0\), puis en déduire l'expression explicite de la suite initiale \(U_n\).
• Question 5 : La dernière question porte sur le comportement asymptotique de la suite. Il faut déterminer si la suite de matrices \((U_n)\) est convergente, en étudiant la limite de son terme général lorsque \(n\) tend vers l'infini.

Exercice 3 : Application des matrices à la géométrie (3 points)

Ce dernier exercice est une application classique des matrices en géométrie plane, spécifiquement pour décrire les rotations autour de l'origine. C'est un pont entre l'algèbre linéaire et la trigonométrie.

• Question 1 : On demande d'écrire les matrices \(M_1\) et \(M_2\) qui représentent respectivement les rotations \(R_1\) d'angle \(\frac{\pi}{3}\) et \(R_2\) d'angle \(-\frac{\pi}{4}\), toutes deux centrées en l'origine.
• Question 2 : Application directe du calcul matriciel : déterminer les coordonnées de l'image du point \(A(1; 3)\) par la rotation \(R_1\).
• Question 3 : On s'intéresse à la composition des transformations. Il faut déterminer la matrice \(M\) associée à la rotation \(R_1\) suivie de la rotation \(R_2\). Cela correspond au produit matriciel \(M = M_2 \times M_1\).
• Question 4 : La question finale est une astuce classique de trigonométrie. La matrice \(M\) représente une rotation dont l'angle est la somme des angles \(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}\). En calculant explicitement le produit \(M_2 M_1\) et en l'identifiant avec la matrice de rotation d'angle \(\frac{\pi}{12}\), on peut en déduire les valeurs exactes de \(\cos(\frac{\pi}{12})\) et \(\sin(\frac{\pi}{12})\).