Découvrez le corrigé détaillé d'un contrôle de mathématiques pour le niveau Seconde, entièrement consacré au chapitre sur les vecteurs et coordonnées. Ce sujet, d'une durée d'une heure et sans calculatrice, est un excellent outil de révision pour maîtriser les concepts fondamentaux de la géométrie analytique. Chaque exercice est analysé pour vous aider à comprendre les méthodes de résolution et à identifier les compétences clés à acquérir.

Ce document est une ressource précieuse pour les élèves souhaitant s'entraîner sur des sujets types, ainsi que pour les enseignants à la recherche d'exemples de contrôles. Les thèmes abordés incluent le calcul de coordonnées de vecteurs, la colinéarité, l'utilisation du déterminant, l'identification de figures géométriques et la manipulation de vecteurs avec la relation de Chasles.

Exercice 1 : Coordonnées, Déterminant et Alignement (5 points)

Cet exercice introductif permet de vérifier la maîtrise des bases du calcul vectoriel dans un repère orthonormé. On part de trois points, \( A(-2; 1) \), \( B(4; -3) \) et \( C(x; 5) \), où la coordonnée \(x\) du point C est une variable.

• Question 1 : La première étape consiste à appliquer la formule de calcul des coordonnées d'un vecteur à partir de deux points. On vous demande de trouver les coordonnées des vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \). Pour \( \vec{AB} \), on calcule \( (x_B - x_A; y_B - y_A) \), et de même pour \( \vec{AC} \), dont les coordonnées dépendront de \(x\).
• Question 2 : Cette question introduit la notion de déterminant de deux vecteurs. Il faut montrer que \( \text{det}(\vec{AB}, \vec{AC}) = 32 + 4x \). Le calcul s'effectue avec la formule \( \text{det}(\vec{u}, \vec{v}) = x_u y_v - y_u x_v \). C'est une application directe du cours.
• Question 3 : La question finale fait le lien entre le déterminant et la géométrie. On demande de trouver la valeur de \(x\) pour laquelle les points A, B et C sont alignés. Il faut se souvenir de la propriété fondamentale : trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \) sont colinéaires. Cette colinéarité se traduit par un déterminant nul. Il suffit donc de résoudre l'équation \( \text{det}(\vec{AB}, \vec{AC}) = 0 \), soit \( 32 + 4x = 0 \).

Exercice 2 : Constructions Vectorielles et Colinéarité (7 points)

Cet exercice se concentre sur la construction de points définis par des relations vectorielles et la démonstration de l'alignement de ces points. On travaille avec quatre points de départ : \( A(-2; 4) \), \( B(2; 0) \), \( C(4; 2) \) et \( D(6; 6) \).

• Question 1 : Il s'agit de déterminer par le calcul les coordonnées de trois nouveaux points E, F et G définis par des contraintes spécifiques :
  • a. \( \vec{AE} = 3\vec{AB} \): On calcule d'abord les coordonnées de \( \vec{AB} \), puis celles de \( 3\vec{AB} \). On en déduit ensuite les coordonnées de E en utilisant la relation \( (x_E - x_A; y_E - y_A) \).
  • b. C est le milieu de [AF] : On utilise la formule du milieu \( x_C = \frac{x_A + x_F}{2} \) (et de même pour y) pour en déduire les coordonnées de F.
  • c. \( \vec{GA} = \frac{3}{2}\vec{DA} \): Similaire à la question a, on calcule les coordonnées de \( \vec{DA} \), on les multiplie par \( \frac{3}{2} \), puis on résout pour trouver les coordonnées de G.
• Question 2 : Le but est de prouver que les points E, F et G, dont on vient de calculer les coordonnées, sont alignés. Pour cela, la méthode la plus courante est de former deux vecteurs avec ces trois points, par exemple \( \vec{EF} \) et \( \vec{EG} \), et de démontrer qu'ils sont colinéaires. On peut soit calculer leur déterminant et montrer qu'il est nul, soit montrer qu'un vecteur est un multiple de l'autre (par exemple, \( \vec{EF} = k \cdot \vec{EG} \)).

Exercice 3 : Étude d'un Quadrilatère (8 points)

Cet exercice est un problème complet de géométrie analytique. Il s'agit d'étudier un quadrilatère ABCD à partir des coordonnées de ses sommets : \( A(-3; 2) \), \( B(1; 4) \), \( C(-1; 8) \) et \( D(-5; 6) \).

• Question 1 : Une question simple pour commencer : placer les points dans le repère fourni.
• Question 2 : On calcule les coordonnées des vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{DC} \). En les comparant, on peut déduire la nature des droites (AB) et (CD). Si \( \vec{AB} = \vec{DC} \), alors le quadrilatère ABCD est un parallélogramme, et les droites sont parallèles.
• Question 3 : On demande de calculer les longueurs AC et DB, qui sont les diagonales du quadrilatère. Le calcul de longueur se fait via la norme d'un vecteur. Par exemple, \( AC = ||\vec{AC}|| = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} \).
• Question 4 : En synthétisant les informations des questions 2 et 3, on doit donner la nature exacte du quadrilatère ABCD. Si c'est un parallélogramme (question 2) et que ses diagonales ont la même longueur (question 3), alors c'est un rectangle.
• Question 5 : Il faut calculer les coordonnées du centre I du quadrilatère. Pour un parallélogramme (et donc un rectangle), le centre est le point d'intersection des diagonales, qui est aussi leur milieu. On peut donc calculer le milieu de [AC] ou de [BD].

Bonus : Alignement et Relation de Chasles

Le bonus propose un défi plus abstrait, sans coordonnées initiales. Dans un triangle ABC, on définit trois points I, K et L par les relations : I est le milieu de [AC], \( \vec{AK} = \frac{3}{5}\vec{AB} \) et \( \vec{BL} = \frac{1}{2}\vec{CA} + \frac{1}{5}\vec{AB} \). La tâche est de montrer que I, K et L sont alignés. Pour cela, la méthode consiste à exprimer les vecteurs \( \vec{IK} \) et \( \vec{IL} \) en fonction de \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \) en utilisant la relation de Chasles, puis de montrer que ces deux vecteurs sont colinéaires.