Obtenez le corrigé détaillé de ce sujet de maths pour la Seconde sur l'étude de fonctions et le calcul numérique. Ce contrôle, d'une durée de 50 minutes et sans calculatrice, est idéal pour réviser et s'évaluer sur des compétences clés du programme de Seconde. Chaque exercice est analysé pour vous aider à comprendre les méthodes de résolution et les savoir-faire attendus.
Ce document est une ressource complète pour les élèves cherchant des exercices corrigés sur les fonctions, incluant la lecture graphique, les tableaux de variations et de signes, ainsi que pour s'entraîner aux calculs sur les fractions et les puissances, des bases indispensables en mathématiques.
Exercice 1 : Étude graphique d'une fonction (7 points)
Cet exercice est un grand classique de l'analyse de fonction. À partir de la courbe représentative \( \mathcal{C}_f \) d'une fonction \( f \) fournie dans un repère, l'élève doit démontrer sa capacité à extraire des informations clés par lecture graphique.
- Question 1 : Ensemble de définition. Il s'agit de déterminer l'intervalle des abscisses pour lesquelles la fonction est définie. Sur le graphique, on lit que la courbe existe pour \( x \in [-5; 6] \).
- Question 2 : Image d'un nombre. On demande de trouver l'image de 5, c'est-à-dire la valeur de \( f(5) \). La lecture sur l'axe des ordonnées du point de la courbe d'abscisse 5 donne \( f(5) = 0 \).
- Question 3 : Antécédents d'un nombre. Il faut trouver le ou les nombres \( x \) tels que \( f(x) = 2 \). Graphiquement, on cherche les abscisses des points d'intersection entre \( \mathcal{C}_f \) et la droite d'équation \( y=2 \). On trouve deux solutions : \( x = -1 \) et \( x = 1 \).
- Question 4 : Tableau de variations. L'objectif est de résumer les variations (croissance, décroissance) de la fonction sur son ensemble de définition dans un tableau. La fonction est croissante sur \( [-5; -2] \), décroissante sur \( [-2; 2] \), puis de nouveau croissante sur \( [2; 6] \).
- Question 5 : Tableau de signes. Cette question demande de déterminer le signe de \( f(x) \) en fonction de \( x \). On observe où la courbe est au-dessus (positif) ou en dessous (négatif) de l'axe des abscisses.
- Question 6 : Résolution d'équation graphique. Résoudre \( f(x) = -1 \) revient à trouver l'abscisse du point de la courbe ayant pour ordonnée -1. La solution est \( x = -3 \).
- Question 7 : Résolution d'inéquation graphique. Pour résoudre \( f(x) \le 3 \), on identifie les intervalles d'abscisses où la courbe \( \mathcal{C}_f \) se situe en dessous ou sur la droite d'équation \( y=3 \).
Exercice 2 : Utilisation d'un tableau de variations (3 points)
Cet exercice teste la compréhension et l'exploitation d'un tableau de variations donné pour une fonction \( g \) définie sur \( [-8; 7] \). L'élève doit justifier la comparaison d'images de nombres en se basant sur la monotonie de la fonction.
- Comparaison de \( g(-5) \) et \( g(-3) \). Sur l'intervalle \( [-8; -2] \), la fonction \( g \) est strictement croissante. Comme \( -5 < -3 \), on en déduit que \( g(-5) < g(-3) \).
- Comparaison de \( g(-1) \) et \( g(1) \). Sur l'intervalle \( [-2; 2] \), la fonction \( g \) est strictement décroissante. Comme \( -1 < 1 \), l'ordre est inversé, donc \( g(-1) > g(1) \).
Exercice 3 : Position relative de deux courbes (3 points)
L'objectif est de résoudre graphiquement une inéquation impliquant deux fonctions, \( f \) et \( g \), dont les courbes représentatives \( \mathcal{C}_f \) et \( \mathcal{C}_g \) sont données. Il faut résoudre l'inéquation \( f(x) \ge g(x) \). Cela revient à déterminer les intervalles sur lesquels la courbe \( \mathcal{C}_f \) est située au-dessus ou sur la courbe \( \mathcal{C}_g \). La solution est un ou plusieurs intervalles à lire sur l'axe des abscisses.
Exercice 4 : Calculs numériques (7 points)
Ce dernier exercice évalue les fondamentaux du calcul numérique, sans calculatrice. Il se divise en deux parties : les fractions et les puissances.
- Partie 1 : Fractions. Il faut calculer deux expressions, A et B, et donner le résultat sous forme de fraction irréductible en respectant les priorités opératoires.
- Calcul de \( A = -\frac{14}{30} \left( -\frac{1}{6} + \frac{1}{5} \right) \). Ce calcul nécessite une mise au même dénominateur, une addition, une simplification de fraction et une multiplication.
- Calcul de \( B = \frac{\frac{5}{2} - \frac{8}{3}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{6}} \). Il s'agit de calculer un quotient de deux expressions fractionnaires, ce qui implique des soustractions et une division de fractions.
- Partie 2 : Puissances.
- a. Calculer \( C = 3^3 \times (2^3 - 5^2)^3 + (2 - 3)^4 \). Cet exercice teste la maîtrise des priorités opératoires avec les puissances.
- b. Écrire l'expression \( D = \frac{81^4 \times 9^{-2}}{27^{-3}} \) sous la forme \( 3^p \), où \( p \) est un entier relatif. Il faut ici décomposer chaque nombre en puissance de 3 et appliquer les formules de calcul sur les puissances (produit, quotient, puissance de puissance).
Ce sujet de contrôle corrigé pour la Seconde est un excellent moyen de s'entraîner à la lecture graphique et à la manipulation des expressions numériques, compétences socles du programme de mathématiques du lycée.