Découvrez le corrigé détaillé de ce sujet de mathématiques pour la classe de Seconde, axé sur les chapitres fondamentaux de l'étude de fonctions : les fonctions affines et les fonctions de référence. Ce contrôle, d'une durée d'une heure, évalue la maîtrise des définitions, des démonstrations, de l'interprétation de tableaux de variation, de l'utilisation de la calculatrice et de la modélisation de problèmes. Chaque exercice est analysé pour vous aider à comprendre les compétences attendues et à maîtriser les concepts clés.

Ce document est une ressource précieuse pour les élèves souhaitant s'entraîner et réviser, ainsi que pour les enseignants à la recherche de supports pédagogiques. Mots clés : contrôle corrigé, sujet de maths Seconde, étude de fonctions, fonctions affines, fonctions de référence, tableau de variation, maximum, minimum, modélisation.

Exercice 1 : Questions de cours

Cet exercice de restitution de connaissances vise à vérifier la compréhension des définitions fondamentales liées au sens de variation et aux extremums d'une fonction. Il est crucial de maîtriser ces définitions pour pouvoir les appliquer dans des contextes plus complexes.

• Question 1 : Minimum d'une fonction. La définition d'un minimum \(f(a)\) pour une fonction \(f\) sur un intervalle \(I\) est que pour tout \(x \in I\), on a \(f(x) \ge f(a)\). Il s'agit de la plus petite valeur que la fonction peut prendre sur cet intervalle.
• Question 2 : Fonction croissante. La définition d'une fonction croissante sur un intervalle \(I\) stipule que la fonction conserve l'ordre. Pour tous réels \(u\) et \(v\) de \(I\), si \(u \le v\), alors \(f(u) \le f(v)\).

Exercice 2 : Démonstration à trous

Cet exercice guide l'élève à travers une démonstration classique : prouver le sens de variation d'une fonction affine. La fonction étudiée est \(f(x) = -2x + 3\).

La démonstration repose sur la manipulation d'inégalités. En partant de l'hypothèse \(u \le v\), on applique les opérations successives qui définissent la fonction \(f\) :

• On multiplie par \(-2\), un nombre négatif, ce qui inverse le sens de l'inégalité : \(u \le v \Leftrightarrow -2u \ge -2v\).
• On ajoute \(3\) aux deux membres, ce qui ne change pas le sens de l'inégalité : \(-2u+3 \ge -2v+3\).
• On reconnaît alors l'expression de la fonction : \(f(u) \ge f(v)\).

La conclusion est que, puisque \(u \le v\) implique \(f(u) \ge f(v)\), la fonction \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\). Cet exercice teste la capacité à appliquer les règles sur les inégalités, compétence fondamentale en analyse de fonctions.

Exercice 3 : Vrai ou Faux

Cet exercice est une évaluation complète de la capacité à lire et interpréter un tableau de variation. Il ne faut pas se contenter de lire les valeurs, mais bien de comprendre ce qu'elles impliquent sur le comportement de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([-6; 9]\).

• a. Pour tout \(x \in [3;9], f(x) \le 3\). Vrai. Sur cet intervalle, la fonction est croissante de -2 à 3. Le maximum est donc 3.
• b. Il existe \(x \in [-6; -1]\) tel que \(f(x) = 2\). Vrai. Sur \([-6; -1]\), \(f\) est continue et croissante de -1 à 5. Puisque 2 est compris entre -1 et 5, le théorème des valeurs intermédiaires (vu intuitivement en Seconde) garantit l'existence d'un tel \(x\).
• c. Pour tout \(x \in [-6;9], f(x) \ge -2\). Vrai. Le minimum global de la fonction sur l'intervalle est -2, atteint en \(x=3\).
• d. Il existe \(x \in [3;9]\) tel que \(f(x) < -2\). Faux. Sur cet intervalle, le minimum est -2. Toutes les valeurs sont supérieures ou égales à -2.
• e. Pour tout \(x \in [-6; -1]\), \(-5 \le -f(x) \le 1\). Vrai. Si \(x \in [-6; -1]\), alors \(-1 \le f(x) \le 5\). En multipliant par -1, on inverse l'inégalité : \(-5 \le -f(x) \le 1\).
• f. Il existe \(x \in [-1;3]\) tel que \(f(x) \ge 4,9\). Vrai. Sur cet intervalle, la fonction décroît de 5 à -2. La valeur 4,9 est bien une image possible.
• g. \(f(-5) \le f(-2)\). Vrai. Sur l'intervalle \([-6; -1]\), la fonction est croissante. Comme \(-5 \le -2\), on a \(f(-5) \le f(-2)\).
• h. Il existe \(x \in [-6;9]\) tel que \(f(x) + 1 = 5\). Vrai. L'équation est équivalente à \(f(x) = 4\). D'après le tableau, la valeur 4 est atteinte deux fois, une fois sur \([-6; -1]\) et une fois sur \([-1; 3]\).

Exercice 4 : Avec la calculatrice

Cet exercice porte sur l'utilisation de la calculatrice graphique pour étudier une fonction du second degré, \(f(x) = x^2 + 2x - 4\).

• Question 1 : Il s'agit d'utiliser le mode "Tableau" de la calculatrice pour trouver des images et des antécédents. On relève \(f(2)=4\), l'image de 1 est \(f(1)=-1\).
• Question 2 : Il faut régler la fenêtre d'affichage (WINDOW) pour visualiser la courbe sur l'intervalle \([-4; 3]\). Il faut donc régler \(X_{min}=-4\) et \(X_{max}=3\). Pour \(Y_{min}\) et \(Y_{max}\), il faut avoir une idée des extremums, calculables via le tableau de valeurs. Le minimum est en \(x=-1\) (\(f(-1)=-5\)) et les valeurs aux bornes sont \(f(-4)=4\) et \(f(3)=11\). Une fenêtre avec \(Y_{min}=-6\) et \(Y_{max}=12\) serait appropriée.

Exercice 5 : Maximum d'une fonction

Similaire à l'exercice 2, il s'agit d'une démonstration à compléter pour prouver que la fonction \(f(x) = -x^2 + 4\) admet un maximum sur \(\mathbb{R}\).

La logique est la suivante :

• Pour tout réel \(x\), on sait que \(x^2 \ge 0\) (un carré est toujours positif).
• En multipliant par \(-1\), on obtient \(-x^2 \le 0\).
• En ajoutant \(4\), on a \(-x^2 + 4 \le 4\).
• Ceci signifie que \(f(x) \le 4\) pour tout \(x\).

De plus, on cherche si cette valeur maximale est atteinte. On résout \(f(x)=4\), soit \(-x^2+4=4 \Leftrightarrow x^2=0 \Leftrightarrow x=0\). Le maximum est 4 et il est atteint en \(x=0\). Cet exercice s'appuie sur la connaissance des propriétés de la fonction carré.

Exercice 6 : Modélisation et Algorithmique

Cet exercice de géométrie est un problème de modélisation. On exprime des aires en fonction d'une variable \(x\), et on analyse un script Python qui calcule une de ces aires.

• Les aires des triangles \(AMD\) et \(DNC\) sont exprimées par des fonctions affines de \(x=AM=BN\). L'aire de \(AMD\) est \(\frac{AM \times AD}{2} = \frac{x \times 6}{2} = 3x\). L'aire de \(DNC\) est \(\frac{NC \times DC}{2} = \frac{(6-x) \times 6}{2} = 18 - 3x\).
• La question la plus intéressante est de montrer que l'aire du quadrilatère \(DMBN\), notée \(c\), est constante. On calcule \(c(x) = Aire_{ABCD} - a(x) - b(x) = 36 - (3x) - (18-3x) = 18\).
• L'analyse du script Python et le calcul de valeurs spécifiques comme `aire(1.5)` renforcent le lien entre algorithmique et fonctions.

Exercice 7 : Prise d'initiative - Optimisation

Cet exercice final est un problème d'optimisation. Il faut trouver la position d'un point \(M\) pour que la somme de deux aires soit maximale. C'est un excellent exemple de l'application des études de fonctions.

La démarche est la suivante :

• 1. Définir un repère et les coordonnées des points. Le repère est \((O; \vec{OC}, \vec{OA})\), donc \(O(0,0)\), \(C(1,0)\), \(A(0,1)\) et \(B(1,2)\).
• 2. Introduire une variable. Le point \(M\) est sur \([OC]\), on pose \(M(x, 0)\) avec \(x \in [0, 1]\).
• 3. Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de la variable. La somme des aires \(S(x) = Aire(OAM) + Aire(MBC) = \frac{x \times 1}{2} + \frac{(1-x) \times 2}{2} = \frac{x}{2} + 1 - x = 1 - \frac{x}{2}\).
• 4. Étudier la fonction obtenue. \(S(x) = -0.5x + 1\) est une fonction affine décroissante sur \([0, 1]\).
• 5. Conclure. Pour maximiser une fonction décroissante, il faut prendre la plus petite valeur possible pour la variable. Le maximum est donc atteint pour \(x=0\), c'est-à-dire quand le point \(M\) est confondu avec l'origine \(O\).