4. Encadrements avec la fonction carré

Introduction

Allez les amis, on est parti pour un des exercices préférés de vos profs de maths, celui où on doit donner un encadrement de \(x\) car, et sachant qu'on vous a donné une inégalité ou une équation avec \(x\), on s'y met tous. C'est exactement le type d'exercice où vous n'avez aucune chance de vous en sortir si vous ne faites pas un petit dessin.

Première inégalité

Première inégalité : \(x\) est compris entre 11 et 12. À la fin, on veut savoir entre quoi et quoi est compris \(x^2\). C'est notre objectif. La première étape, ça va être de faire apparaître 11 et 12 sur le graphique. Par exemple, si je voulais résoudre \(x = 9\), je me souviens que dans la compétence, le 9 on l'avait mis sur l'axe vertical. En effet, quand j'ai une égalité \(x = a\), \(a\) est ma valeur de \(x\) sur l'axe de la fonction, c'est-à-dire l'axe vertical. Dans ce cas, mon inégalité ne concerne pas \(x^2\), elle concerne \(x\), autrement dit on va la faire apparaître sur l'axe horizontal. Donc, je vais positionner 11 et 12 sur cet axe. Je sais que \(x\) va se balader entre 11 et 12, donc il va se balader quelque part par là. La question que je pose, c'est si \(x\) se balade entre 11 et 12, où est-ce que va être \(x^2\) ?

Deuxième inégalité

Je place -3 et 2 sur l'axe horizontal parce qu'encore une fois, ce sont les valeurs de \(x\) qui vont donner \(x^2\). Donc, mon -3 est ici et mon 2 est là. Je sais que \(x\) se balade entre ces deux valeurs, donc \(x\) se balade là. Où est-ce que va se balader \(x^2\) ? Ce qu'on a envie de faire, c'est dire : je fais \(-3^2\), ça me fait 9, je fais \(2^2\), ça me fait 4. Et si je me balade là, entre -3 et 2, je vais me balader entre 4 et 9. Mais c'est faux. Pourquoi ? Parce que si je prends par exemple 0, \(0^2\) fait 0, et 0 n'est pas compris entre 4 et 9. Donc en fait, chaque fois que vous allez vous balader là-dessus, vous allez prendre toutes les valeurs entre 9 et 0. Donc, quand vous avez deux secondes qui sont tous les deux du même côté de la barre verticale, c'est très simple à gérer. Quand vous passez par zéro, en l'occurrence ici de -3 à 2, je passe par 0, 0 va forcément apparaître dans votre inégalité finale.

Conclusion

C'est compliqué à expliquer avec des mots, c'est compliqué à comprendre avec des mots, c'est très simple à comprendre avec le schéma que je vous ai fait. Vous avez vu que vous avez compris que quand je me balade sur cette zone là, je vais effectivement me retrouver entre 9 et 4, mais je vais aussi passer par des valeurs proches de zéro. Donc en fait, j'aurais toutes ces valeurs entre 0 et 9. La question est : est-ce que 9 est inclus ou exclu ? Regardons notre inégalité qui correspond à la valeur -3. \(-3 \leq x\), donc \(x^2\) a le droit de prendre la valeur 9. J'encadre et je prends le point. Ça, c'est littéralement ce que vous allez voir au contrôle. Ça tombe bien, on vous a mis des exercices d'entraînement progressif en dessous où vous pouvez rentrer les intervalles. Entraînez-vous, ça va vous faire du bien. Vous allez voir, c'est super. Vous êtes des champions, à vous de jouer.