Obtenez le sujet et le corrigé détaillé de ce contrôle de mathématiques pour la classe de Seconde, portant sur le chapitre de l'arithmétique. Ce devoir d'une heure est conçu pour évaluer en profondeur votre compréhension des concepts clés tels que les diviseurs, les nombres premiers, la division euclidienne et les démonstrations de propriétés fondamentales.

Ce document est une ressource précieuse pour les élèves souhaitant s'entraîner et réviser, ainsi que pour les enseignants à la recherche de supports pédagogiques. Chaque exercice est analysé pour vous aider à maîtriser les compétences essentielles de l'arithmétique.

Exercice 1 : Diviseurs et Nombres premiers

• Question 1 : Il s'agit de trouver et lister tous les diviseurs de l'entier 18. Cette question teste la compétence de base sur la notion de divisibilité. Les diviseurs de 18 dans \(\mathbb{N}\) sont {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
• Question 2 : La question demande de déterminer si 47 est un nombre premier. Il faut justifier la réponse en testant la divisibilité par les nombres premiers inférieurs à \(\sqrt{47}\). Comme \(\sqrt{47} \approx 6.8\), on teste 2, 3, 5. 47 n'est divisible par aucun d'eux, il est donc premier.
• Question 3 : Similaire à la question précédente, mais avec des nombres plus grands : 867 et 691. Pour 867, la somme des chiffres est \(8+6+7=21\), divisible par 3, donc 867 n'est pas premier. Pour 691, il faut tester la divisibilité par les nombres premiers jusqu'à \(\sqrt{691} \approx 26.3\).
• Question 4 : Cette question porte sur la décomposition en produit de facteurs premiers, un théorème fondamental de l'arithmétique. Il faut décomposer les nombres 150, 72 et 400. Par exemple, \(150 = 15 \times 10 = (3 \times 5) \times (2 \times 5) = 2 \times 3 \times 5^2\).

Exercice 2 : Division euclidienne et calcul littéral

• Question 1 : Application directe de l'algorithme de la division euclidienne pour 484 par 3. On cherche les entiers \(q\) (quotient) et \(r\) (reste) tels que \(484 = 3q + r\) avec \(0 \le r < 3\).
• Question 2 : Cet exercice introduit le calcul littéral en arithmétique avec \(a = 8k\) et \(b = 6k\).
  • a) Justifier que \(a\) est pair : on montre que \(a\) peut s'écrire sous la forme \(2p\), où \(p\) est un entier. Ici, \(a = 8k = 2 \times (4k)\), donc \(a\) est pair.
  • b) Justifier que \(b\) est un multiple de 3 : on montre que \(b\) peut s'écrire sous la forme \(3p\). Ici, \(b = 6k = 3 \times (2k)\), donc \(b\) est un multiple de 3.
  • c) La somme \(a + b\) est-elle un multiple de 7 ? On calcule \(a + b = 8k + 6k = 14k = 7 \times (2k)\). La somme est donc toujours un multiple de 7.

Exercice 3 : Démonstrations de cours et propriétés

Cet exercice évalue la capacité à rédiger une démonstration mathématique structurée en utilisant le calcul littéral.

• Question 1 : Une restitution de cours classique. On doit montrer que la somme de deux multiples de 11 est un multiple de 11. On prend deux multiples de 11, par exemple \(11k\) et \(11k'\), et on montre que leur somme \(11k + 11k'\) est factorisable par 11.
• Question 2 : Une démonstration un peu plus complexe. On doit montrer que le produit de deux nombres pairs est un multiple de 4. On prend deux nombres pairs, \(2k\) et \(2k'\), et on montre que leur produit \((2k)(2k') = 4kk'\) est bien un multiple de 4.

Exercice 4 : Vrai ou Faux (Contre-exemples)

Ici, la compétence testée est la capacité à invalider une proposition générale à l'aide d'un contre-exemple précis et bien choisi.

• Proposition 1 : « Le produit de deux entiers impairs consécutifs est pair. » Cette proposition est fausse. Il suffit de prendre deux entiers impairs consécutifs, comme 3 et 5. Leur produit est \(3 \times 5 = 15\), qui est impair. Le contre-exemple invalide l'affirmation.
• Proposition 2 : « Le produit d'un nombre décimal par 10 est un nombre entier. » C'est également faux. Un nombre décimal n'est pas nécessairement limité à un chiffre après la virgule. Par exemple, le nombre décimal 1,23 multiplié par 10 donne 12,3, qui n'est pas un entier.

Exercice 5 : Problème (Approfondissement)

Ce dernier exercice est un problème de synthèse qui mêle calcul, démonstration et raisonnement sur les nombres premiers.

• Question 1 : Il s'agit de tester une conjecture pour des petites valeurs de \(n\) (\(n=2, 3, 4\)). Pour \(n=2\), \(n^4 + 4 = 20\). Pour \(n=3\), \(n^4 + 4 = 85\). Pour \(n=4\), \(n^4 + 4 = 260\). On vérifie que ces résultats ne sont pas des nombres premiers.
• Question 2 : La question clé du problème. Il faut démontrer l'identité \(n^4 + 4 = (n^2 + 2n + 2)(n^2 - 2n + 2)\) en développant le membre de droite. C'est une application des identités remarquables, notamment de la forme \((a+b)(a-b)\) en posant \(a = n^2 + 2\) et \(b = 2n\).
• Question 3 : En utilisant l'identité précédente, on doit expliquer pourquoi \(n^4 + 4\) n'est jamais premier pour \(n > 1\). L'identité montre que \(n^4 + 4\) est le produit de deux entiers. Il faut juste s'assurer que ces deux facteurs sont différents de 1. Pour \(n > 1\), on peut montrer que \((n^2 - 2n + 2) > 1\), ce qui prouve que \(n^4 + 4\) est un nombre composé.
• Question 4 : Une application numérique simple. Montrer que 1300 n'est pas premier est trivial (il se termine par 0), et on peut donner comme diviseurs 10 et 130, ou 2 et 5.