Introduction
Allez les amis, on est parti pour un exercice typique de seconde et de contrôle. Il faut montrer que la somme de trois entiers consécutifs est divisible par trois. Comme d'habitude, le problème dans ce genre d'exercice, ça va être de déterminer quel est notre point de départ et quel est notre point d'arrivée. Je sais que mon point d'arrivée c'est d'être divisé par 3. Donc, si j'ai quelque chose divisé par trois, j'espère avoir une égalité avec mon "quelque chose" égal à trois fois un autre nombre.
Formulation du problème
Si je fais ça, j'aurais bien montré que le premier objet est égal à trois fois l'autre, donc le premier objet est divisible par trois. Mon premier objet, c'est la somme de trois entiers. Je pourrais écrire par exemple \(1 + 2 + 3\), ça me fait 6 et ça me fait bien trois fois deux. Donc formidable, je vais montrer qu'\(1 + 2 + 3\) ça fait trois fois deux. Donc \(1 + 2 + 3\) est divisible par 3. Je n'ai plus qu'à faire la même chose avec \(2 + 3 + 4\), \(3 + 4 + 5\), \(4 + 5 + 6\) et ainsi de suite jusqu'à la nuit des temps. Mais c'est clairement pas une bonne solution.
Solution de l'exercice
Comment on va transformer cette phrase "la somme de trois entiers consécutifs" en une égalité mathématique ? Admettons que le premier entier, on l'appelle \(n\). Du coup, le deuxième, celui qui est juste après, le deuxième entier, ce sera \(n + 1\) et le troisième, en fait, ça sera \(n + 2\). Du coup, je me retrouve avec une somme de trois entiers consécutifs qui vont être \(n + (n + 1) + (n + 2)\), donc \(3n + 3\). Je peux factoriser par 3, j'obtiens \(3(n + 1)\). J'ai bien montré que quand j'ai une somme de trois entiers consécutifs, je peux l'écrire trois fois quelque chose et que du coup cette somme est divisible par 3. C'est terminé. On vous a mis des petits exercices comme ça, n'hésitez pas à les faire pour réussir le contrôle. À vous de jouer.