Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Seconde porte sur le chapitre fondamental de l'arithmétique. D'une durée de 50 minutes et sans calculatrice, il vise à évaluer la maîtrise des concepts de base tels que les diviseurs, les multiples, les nombres premiers, et la capacité à mener des raisonnements logiques et des démonstrations. Ce document est une excellente ressource pour les élèves souhaitant s'entraîner et réviser, ainsi que pour les enseignants à la recherche d'exemples d'évaluation.

Exercice 1 : Liste des diviseurs

Le premier exercice est une mise en jambe directe qui teste la connaissance de la notion de diviseur. Il est demandé de trouver tous les diviseurs positifs de 36. C'est une compétence de base en arithmétique qui consiste à identifier tous les entiers qui divisent 36 sans reste. La méthode consiste à tester les entiers, souvent par paires : si \(d\) est un diviseur, alors \(\frac{36}{d}\) en est un autre. Les diviseurs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Exercice 2 : Vrai ou Faux sur les bases de l'arithmétique

Cet exercice évalue la compréhension fine des définitions et des propriétés de la divisibilité et des nombres premiers à travers trois affirmations à justifier. La justification est ici cruciale.

• 1) Si un entier \(n\) est divisible par 8, alors \(\frac{8}{n}\) est un entier. Cette affirmation est fausse. Elle teste la bonne compréhension de la phrase "\(a\) est divisible par \(b\)". Cela signifie que \(\frac{a}{b}\) est un entier. Ici, l'affirmation inverse la relation. Un contre-exemple simple est \(n=16\), qui est divisible par 8, mais \(\frac{8}{16} = 0.5\) n'est pas un entier.
• 2) Si un entier \(n\) est divisible par 8, alors c'est un multiple de 4. Cette affirmation est vraie. Si \(n\) est divisible par 8, alors il existe un entier \(k\) tel que \(n=8k\). On peut alors écrire \(n = (4 \times 2)k = 4 \times (2k)\). Puisque \(2k\) est un entier, \(n\) est bien un multiple de 4.
• 3) La somme de deux nombres premiers est un nombre premier. C'est faux. Il suffit de trouver un contre-exemple. Par exemple, \(3\) et \(5\) sont premiers, mais leur somme \(3+5=8\) n'est pas un nombre premier. De plus, à l'exception de 2, tous les nombres premiers sont impairs, et la somme de deux impairs est toujours paire (et donc non première, sauf 2).

Exercice 3 : Décomposition en produits de facteurs premiers

Un classique incontournable de l'arithmétique. L'exercice demande d'abord de décomposer deux nombres, 3388 et 840, en un produit de facteurs premiers.

• Pour 3388 : \(3388 = 2 \times 1694 = 2^2 \times 847 = 2^2 \times 7 \times 121 = 2^2 \times 7 \times 11^2\).
• Pour 840 : \(840 = 10 \times 84 = (2 \times 5) \times (4 \times 21) = 2 \times 5 \times 2^2 \times 3 \times 7 = 2^3 \times 3 \times 5 \times 7\).

La deuxième partie de la question consiste à utiliser ces décompositions pour simplifier la fraction \(\frac{3388}{840}\) et l'écrire sous forme irréductible. En remplaçant numérateur et dénominateur par leurs décompositions, on peut simplifier les facteurs communs : \(\frac{3388}{840} = \frac{2^2 \times 7 \times 11^2}{2^3 \times 3 \times 5 \times 7} = \frac{7 \times 11^2}{2 \times 3 \times 5} = \frac{847}{30}\).

Exercice 4 : Test de primalité

Cet exercice demande de vérifier si les nombres 1287, 289 et 239 sont premiers. Il faut appliquer une méthode rigoureuse.

• Pour 1287 : on peut utiliser les critères de divisibilité. La somme de ses chiffres est \(1+2+8+7=18\), qui est un multiple de 3. Donc 1287 est divisible par 3 et n'est pas premier.
• Pour 289 : il faut tester la divisibilité par les nombres premiers successifs. On sait que \(10^2=100\) et \(20^2=400\), donc sa racine est entre 10 et 20. On teste les nombres premiers : 11, 13, 17. On trouve que \(289 = 17^2\). Il n'est donc pas premier.
• Pour 239 : on teste les nombres premiers jusqu'à \(\sqrt{239} \approx 15.4\). Il faut donc tester 2, 3, 5, 7, 11, 13. Aucun ne divise 239. Le nombre 239 est donc premier.

Exercice 5 : Démonstrations algébriques en arithmétique

Cet exercice fait appel à la capacité de traduire des énoncés en langage algébrique pour prouver des propriétés.

• 1) Montrer que la somme de deux multiples de 5 est un multiple de 5. Soient deux multiples de 5, \(a=5k_1\) et \(b=5k_2\). Leur somme est \(a+b = 5k_1 + 5k_2 = 5(k_1+k_2)\), ce qui est bien un multiple de 5.
• 2) Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est divisible par 3. Soient trois entiers consécutifs \(n\), \(n+1\) et \(n+2\). Leur somme est \(S = n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)\), qui est divisible par 3.
• 3) Montrer que, si \(n\) est un entier impair, alors 4 est un diviseur de \(n^2 + 2n + 5\). Si \(n\) est impair, il peut s'écrire \(n=2k+1\). On remplace dans l'expression : \((2k+1)^2 + 2(2k+1) + 5 = (4k^2+4k+1) + (4k+2) + 5 = 4k^2 + 8k + 8 = 4(k^2+2k+2)\). L'expression est bien un multiple de 4.

Exercice 6 : Raisonnement logique et parité

Le dernier exercice aborde une notion de logique mathématique (contraposée, réciproque) appliquée à la parité des entiers.

L'implication de départ est : « Si le carré d'un entier \(n\) est pair, alors \(n\) est pair. »

• 1) Contraposée et sa démonstration : La contraposée est « Si \(n\) est impair, alors \(n^2\) est impair ». Pour le prouver, on pose \(n=2k+1\). Alors \(n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1\), ce qui est la forme d'un nombre impair. La contraposée est donc vraie.
• 2) Réciproque et sa démonstration : La réciproque est « Si \(n\) est pair, alors \(n^2\) est pair ». Pour le prouver, on pose \(n=2k\). Alors \(n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)\), ce qui est la forme d'un nombre pair. La réciproque est donc vraie.

Bonus : Les nombres à trois diviseurs

La question bonus, pour les plus rapides, est un petit défi de réflexion : "Que peut-on dire des entiers naturels qui admettent exactement trois diviseurs positifs ?" La réponse est qu'il s'agit des carrés des nombres premiers. En effet, si \(p\) est un nombre premier, ses seuls diviseurs sont 1 et \(p\). Le nombre \(p^2\) a pour diviseurs \(1\), \(p\) et \(p^2\).