Obtenez une analyse détaillée et le corrigé complet de ce contrôle de mathématiques pour le niveau Seconde, portant sur les chapitres des vecteurs et des proportions. Ce sujet, typique des évaluations de Seconde, est un excellent moyen de s'entraîner et de valider ses connaissances en géométrie repérée et en calcul de pourcentages. Chaque exercice est décortiqué pour vous aider à comprendre les méthodes de résolution et les compétences clés évaluées.

Exercice 1 : Le massif de fleurs (Vecteurs et Parallélogramme)

Cet exercice est un grand classique de la géométrie dans un repère orthonormé. Il s'agit de manipuler les coordonnées de points et de vecteurs pour étudier les propriétés d'un quadrilatère.

• Question 1 : La première étape consiste à réaliser une figure précise en plaçant les points \( A(1; -2) \), \( B(5;1) \) et \( C(2; 5) \) dans un repère. Une bonne figure est essentielle pour visualiser le problème.
• Question 2 : On vous demande de trouver les coordonnées du point \( D \) tel que \( ABCD \) soit un parallélogramme. La méthode consiste à utiliser l'égalité vectorielle \( \vec{AB} = \vec{DC} \). On calcule d'abord les coordonnées de \( \vec{AB} \): \( \vec{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A) = (4; 3) \). Ensuite, on exprime les coordonnées de \( \vec{DC} \) en fonction de celles de \( D(x_D; y_D) \): \( \vec{DC}(x_C - x_D; y_C - y_D) = (2 - x_D; 5 - y_D) \). En résolvant le système d'équations \( 2 - x_D = 4 \) et \( 5 - y_D = 3 \), on trouve les coordonnées de \( D \).
• Question 3 : Pour déterminer la nature exacte du parallélogramme (rectangle, losange ou carré), il faut calculer les longueurs des côtés et des diagonales. On utilise la formule de la norme d'un vecteur : \( ||\vec{u}|| = \sqrt{x^2+y^2} \). On calcule \( AB = ||\vec{AB}|| \) et \( BC = ||\vec{BC}|| \). Si \( AB = BC \), c'est un losange. Pour savoir si c'est un rectangle, on peut calculer les longueurs des diagonales \( AC \) et \( BD \). Si \( AC = BD \), c'est un rectangle.
• Question 4 : Le calcul de la longueur de la bordure correspond au périmètre du quadrilatère \( ABCD \). Il suffit d'additionner les longueurs des quatre côtés, calculées à la question précédente.

Exercice 2 : Appartenance à des ensembles de points

Cet exercice teste votre capacité à utiliser les coordonnées et la formule de distance pour vérifier si des points appartiennent à des lieux géométriques spécifiques, comme une médiatrice ou un cercle.

• Question 1 : Pour savoir si le point \( C(6; -5,5) \) appartient à la médiatrice du segment \( [AB] \) avec \( A(-2; 1) \) et \( B(2; 4) \), il faut vérifier si \( C \) est équidistant de \( A \) et \( B \). On doit donc calculer les distances \( CA \) et \( CB \) et les comparer. Le calcul se fait avec la formule de la distance : \( d(M, N) = \sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2} \). Il est souvent plus simple de comparer les carrés des distances, \( CA^2 \) et \( CB^2 \), pour éviter les racines carrées.
• Question 2 : On demande de vérifier si le point \( D(4; -6) \) appartient au cercle de diamètre \( [BC] \). Une méthode efficace au niveau Seconde est de déterminer le centre du cercle, qui est le milieu \( K \) du segment \( [BC] \), puis de calculer son rayon \( R = \frac{BC}{2} \). Enfin, on calcule la distance \( KD \) et on vérifie si elle est égale au rayon \( R \).

Exercice 3 : Calculs vectoriels avancés

Cet exercice approfondit la manipulation des vecteurs, en abordant la colinéarité, la construction de points définis par une relation vectorielle et l'utilisation de la relation de Chasles.

• Question 1 : Pour prouver que les points \( R(-2; 3) \), \( S(4; 0) \) et \( T(1; -3) \) ne sont pas alignés, il faut montrer que les vecteurs \( \vec{RS} \) et \( \vec{RT} \) ne sont pas colinéaires. On calcule leurs coordonnées : \( \vec{RS}(6; -3) \) et \( \vec{RT}(3; -6) \). On utilise ensuite la condition de colinéarité : deux vecteurs \( \vec{u}(x;y) \) et \( \vec{v}(x';y') \) sont colinéaires si et seulement si leur déterminant \( xy' - x'y \) est nul. Ici, \( 6 \times (-6) - (-3) \times 3 = -36 + 9 = -27 \neq 0 \), donc les vecteurs ne sont pas colinéaires et les points ne sont pas alignés.
• Question 2 : On définit un point \( U \) par \( \vec{TU} = \frac{2}{3} \vec{RS} \). On calcule d'abord les coordonnées du point \( U \) en résolvant l'équation vectorielle. Ensuite, pour démontrer que \( RSTU \) est un trapèze, on doit prouver que deux de ses côtés sont parallèles, par exemple \( (RS) \) et \( (TU) \). La relation de définition \( \vec{TU} = \frac{2}{3} \vec{RS} \) implique directement que les vecteurs \( \vec{TU} \) et \( \vec{RS} \) sont colinéaires, donc les droites sont parallèles. Ce n'est pas un parallélogramme car \( \vec{TU} \neq \vec{RS} \).
• Question 3 : Il s'agit d'une application directe de la relation de Chasles pour simplifier une somme de vecteurs : \( \vec{RS} + \vec{TU} + \vec{ST} = (\vec{RS} + \vec{ST}) + \vec{TU} = \vec{RT} + \vec{TU} = \vec{RU} \). La vérification se fait en calculant les coordonnées du vecteur \( \vec{RU} \) d'une part, et en additionnant les coordonnées des trois vecteurs d'autre part.
• Question 4 : Pour trouver les coordonnées du point d'intersection \( V \) de la droite \( (RU) \) avec l'axe des abscisses, on sait que son ordonnée est nulle : \( V(x_V; 0) \). Les points \( R \), \( U \) et \( V \) étant alignés, les vecteurs \( \vec{RU} \) et \( \vec{RV} \) sont colinéaires. On pose la condition de colinéarité (déterminant nul) pour trouver la valeur de \( x_V \).

Exercice 4 : Problèmes de pourcentages

La dernière partie du contrôle porte sur l'application des pourcentages et proportions à des situations concrètes. Ces questions évaluent la capacité à modéliser un problème et à effectuer les calculs correspondants.

• Question 1 : C'est un problème de pourcentage de pourcentage. Le fromage contient 49% de matière sèche, et la matière grasse représente 68% de cette matière sèche. Pour trouver le pourcentage de matière grasse par rapport à la masse totale, on multiplie les proportions : \( 0,68 \times 0,49 = 0,3332 \), ce qui correspond à 33,32 %.
• Question 2 : Ce problème utilise la notion de proportion pour calculer des masses et des volumes.
  • a. Si 35g de sel représentent 1,5% de la masse totale de la solution, on peut trouver la masse totale \( M_T \) par un produit en croix ou en posant l'équation \( 0,015 \times M_T = 35 \). La masse d'eau est alors \( M_{eau} = M_T - 35 \).
  • b. Connaissant la masse d'eau et sa masse volumique (\( 1000 \text{ g/L} \) ou \( 1 \text{ g/mL} \)), on peut facilement convertir cette masse en volume.