Contrôle Corrigé sur les Taux d'Évolution - Niveau Seconde

Ce document présente un sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Seconde, centré sur le chapitre des taux d'évolution et pourcentages. D'une durée indicative de 45 minutes, ce test est un excellent outil de révision, couvrant les compétences clés à travers quatre exercices progressifs. Ce corrigé détaillé est idéal pour s'entraîner, identifier ses points faibles et préparer sereinement une évaluation. Les thèmes abordés incluent le calcul de proportions, l'application de pourcentages, les évolutions successives, le taux réciproque et l'analyse critique d'un algorithme Python.

Exercice 1 : Calcul de Proportions

Cet exercice initial évalue la compréhension des proportions et des pourcentages de pourcentages, des compétences de base essentielles.

• Question 1 : Il est demandé de déterminer la part de la population européenne au sein de la population mondiale. Avec une population mondiale \(V_{monde} = 7 632 819\) milliers et une population européenne \(V_{europe} = 742 648\) milliers, le calcul de la proportion s'effectue par la formule \(p = \frac{\text{Partie}}{\text{Tout}}\). On calcule donc :$$ p = \frac{742 648}{7 632 819} \approx 0,0973 $$En pourcentage, cela représente environ 10%.
• Question 2 : Cette question introduit la notion de proportion d'une proportion. Sachant que l'Europe de l'Ouest constitue 26% de la population européenne, on calcule sa part dans la population mondiale en multipliant les proportions :$$ p_{\text{Ouest/Monde}} = p_{\text{Ouest/Europe}} \times p_{\text{Europe/Monde}} = 0,26 \times 0,0973 \approx 0,0253 $$Cela signifie que l'Europe de l'Ouest représente environ 2,5% de la population mondiale.

Exercice 2 : Applications des Pourcentages et Taux d'Évolution

Cet exercice central se compose de cinq problèmes indépendants, typiques de ce que l'on peut attendre sur ce chapitre.

• Question 1 : Appliquer une hausse. Un loyer de 830 € augmente de 5%. Le nouveau montant est obtenu en multipliant par le coefficient multiplicateur \(CM = 1 + \frac{5}{100} = 1,05\). Le nouveau loyer est donc \(830 \times 1,05 = 871,50\) €.
• Question 2 : Retrouver une valeur initiale. Un article soldé à 30% est vendu 41,30 €. Le coefficient multiplicateur de la baisse est \(CM = 1 - \frac{30}{100} = 0,70\). Le prix initial se retrouve par la division : \(V_{initial} = \frac{41,30}{0,70} = 59\) €.
• Question 3 : Calculer un taux d'évolution. La formule est \(t = \frac{V_{final} - V_{initial}}{V_{initial}}\). Pour un prix de l'eau passant de 3,82 € à 3,96 €, le taux est de \(\frac{3,96 - 3,82}{3,82} \approx +3,7\%\). Pour un passage à 2,95 €, le taux est de \(\frac{2,95 - 3,82}{3,82} \approx -22,8\%\).
• Question 4 : Taux global d'évolutions successives. Une baisse de 30% (\(CM_1 = 0,70\)) suivie d'une baisse de 40% (\(CM_2 = 0,60\)) correspond à un coefficient multiplicateur global \(CM_{global} = CM_1 \times CM_2 = 0,70 \times 0,60 = 0,42\). Le taux global est \(t_{global} = CM_{global} - 1 = -0,58\), soit une baisse de 58%.
• Question 5 : Taux d'évolution réciproque. Pour annuler une baisse de 11% (de \(CM = 0,89\)), il faut appliquer une évolution de coefficient multiplicateur \(CM' = \frac{1}{CM} = \frac{1}{0,89} \approx 1,1236\). Le taux d'augmentation réciproque est donc de \(t' = CM' - 1 \approx 0,1236\), soit environ 12,4%.

Exercice 3 : Taux d'Évolution Moyen

Cet exercice aborde le concept de taux moyen sur plusieurs périodes. Une hausse globale de 69% en deux ans correspond à un \(CM_{global} = 1,69\). Si le taux annuel moyen est \(t\), alors \((1+t)^2 = 1,69\). En résolvant, on trouve \(1+t = \sqrt{1,69} = 1,3\), ce qui donne \(t=0,3\). Le taux moyen est donc de 30% par an.

Exercice 4 : Analyse d'un Algorithme

Ce dernier exercice teste la capacité à lire et comprendre un script Python dans un contexte mathématique.

• Question 1 : Pour calculer le taux d'évolution entre \(I=100\) et \(F=120\), on doit appeler la fonction ainsi : taux(100, 120).
• Question 2 et 3 : Le script contient une erreur de logique due à la priorité des opérations. La ligne t = F-I/I est calculée comme t = F - (I/I), ce qui donne \(120 - (100/100) = 119\). La formule correcte est \(t = \frac{F-I}{I}\), qui nécessite des parenthèses en Python : t = (F-I)/I. Le script ne fonctionne donc pas comme prévu.