Découvrez un sujet complet de Bac Blanc de mathématiques pour la Terminale spécialité. Ce devoir de 4 heures, type baccalauréat, est un excellent entraînement pour l'épreuve finale. Il couvre quatre chapitres majeurs du programme : la géométrie dans l'espace, l'étude de fonctions (avec logarithme et convexité), les probabilités (loi binomiale et probabilités conditionnelles) et les suites numériques. Ce document propose un corrigé détaillé implicite à travers l'analyse des compétences requises pour chaque question, idéal pour réviser et s'auto-évaluer.

Exercice 1 : Géométrie dans l'espace (8 points)

Cet exercice classique de géométrie vectorielle dans l'espace se déroule dans un repère orthonormé associé à un cube. L'objectif final est de calculer le volume d'un tétraèdre \(FMNP\).

• Vecteurs et Alignement : La première étape consiste à calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{MN}\) et \(\vec{MP}\) et à prouver que les points M, N et P ne sont pas alignés en montrant que ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
• Produit Scalaire et Nature d'un Triangle : On utilise le calcul du produit scalaire \(\vec{MN} \cdot \vec{MP}\) pour déterminer si le triangle MNP est rectangle. Cette information est cruciale pour ensuite calculer son aire.
• Plan dans l'espace : L'exercice guide vers la détermination d'une équation cartésienne du plan \((MNP)\). Il faut d'abord montrer qu'un vecteur donné \(\vec{n}\) est un vecteur normal au plan, en vérifiant son orthogonalité avec deux vecteurs directeurs du plan. On en déduit l'équation de la forme \(5x - 8y + 4z = 0\).
• Droite et Projection Orthogonale : Il s'agit de déterminer une représentation paramétrique d'une droite \(d\) passant par un point F et orthogonale au plan \((MNP)\). Par la suite, on calcule les coordonnées du point L, projeté orthogonal de F sur le plan, en résolvant le système d'équations formé par la droite et le plan.
• Volume d'un Tétraèdre : La dernière question consiste à calculer la distance \(FL\), qui représente la hauteur du tétraèdre, puis à utiliser la formule du volume \(V = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{MNP} \times FL\) pour conclure.

Exercice 2 : Étude de fonction et distance minimale (12 points)

Cet exercice très complet est décomposé en trois parties et aborde l'analyse de fonction sous tous ses angles : graphique, analytique et via un problème d'optimisation.

• Partie A - Exploitation graphique : À partir de la courbe \(C_f\) et de sa tangente en un point, il faut déterminer graphiquement des valeurs de la fonction et de sa dérivée (\(f(-1)\) et \(f'(-1)\)) et justifier la convexité de la fonction sur son domaine.
• Partie B - Étude analytique : L'étude porte sur la fonction \(f(x) = x^2 + 2x - 1 + \ln(x+2)\).
  • Calcul de la limite en \(-2^+\) et interprétation graphique (asymptote verticale).
  • Calcul de la dérivée \(f'(x)\) et étude de son signe pour dresser le tableau de variations complet de \(f\).
  • Application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour démontrer que l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\).
  • Étude de la convexité en calculant la dérivée seconde \(f''(x)\), ce qui permet de trouver l'unique point d'inflexion de la courbe.
• Partie C - Distance minimale : On cherche à minimiser la distance entre le point \(J(0,1)\) et un point \(M\) de la courbe de la fonction \(g(x) = \ln(x+2)\).
  • On étudie pour cela la fonction \(h(x) = JM^2 = x^2 + [\ln(x+2)-1]^2\).
  • Une étape clé est de montrer que la dérivée \(h'(x)\) est directement liée à la fonction \(f\) étudiée précédemment : \(h'(x) = \frac{2f(x)}{x+2}\).
  • Le sens de variation de \(h\) dépend donc du signe de \(f\), et le minimum est atteint pour \(x = \alpha\), la solution de \(f(x)=0\).

Exercice 3 : Probabilités (11 points)

Basé sur des données réelles concernant la crise sanitaire, cet exercice traite de la loi binomiale et des probabilités conditionnelles.

• Partie A - Loi Binomiale : On modélise un échantillon de 100 personnes avec une variable aléatoire \(X\).
  • Il faut justifier que \(X\) suit une loi binomiale et en donner les paramètres \(n\) et \(p\).
  • On calcule et interprète son espérance mathématique \(E(X)\).
  • Les questions suivantes portent sur des calculs de probabilités classiques : \(P(X=0)\) et \(P(X \ge 2)\), nécessitant l'usage de la calculatrice.
• Partie B - Probabilités conditionnelles : L'énoncé introduit un test de dépistage avec sa sensibilité et sa spécificité.
  • La situation est modélisée par un arbre de probabilités qu'il faut compléter.
  • En utilisant la formule des probabilités totales, on calcule la probabilité qu'un individu pris au hasard soit testé positif.
  • La dernière question est une application de la formule de Bayes pour calculer la valeur prédictive positive du test, c'est-à-dire \(P(I|T)\).

Exercice 4 : Vrai ou Faux sur les suites (9 points)

Cet exercice teste la maîtrise des principaux outils d'analyse des suites numériques à travers quatre affirmations à justifier.

• Affirmation 1 - Suite arithmético-géométrique : Il faut vérifier si une suite auxiliaire \((w_n)\) est géométrique, une technique standard pour l'étude des suites arithmético-géométriques.
• Affirmation 2 - Théorème des Gendarmes : À partir d'un encadrement de la suite \((S_n)\), on doit en déduire la convergence de la suite \(u_n = S_n/n\) en appliquant le théorème d'encadrement.
• Affirmation 3 - Raisonnement par récurrence : On doit prouver par récurrence une formule explicite pour une suite définie par une relation de récurrence.
• Affirmation 4 - Limite et croissance comparée : Il s'agit de déterminer la limite de la suite \(u_n = e^n - n\). C'est une forme indéterminée de type \(\infty - \infty\) qui se lève par factorisation et en utilisant les résultats de croissance comparée.