Contrôle Corrigé de Mathématiques : Polynômes du Second Degré et Étude de Fonctions

Ce sujet de contrôle de mathématiques, destiné aux élèves de Première technologique, est une excellente ressource pour s'entraîner et réviser les chapitres sur les polynômes du second degré et l'étude de fonctions. Le sujet, d'une durée d'une heure et sans calculatrice, est structuré en trois exercices complets qui balayent les compétences clés : lecture graphique d'une parabole, analyse algébrique d'un trinôme et application à un problème concret via le taux de variation. Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas dans la résolution de chaque question.

Exercice 1 : Lire une parabole (vrai ou faux)

Cet exercice se concentre sur l'interprétation graphique d'une fonction du second degré. On nous donne la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([-1; 5]\) par son expression factorisée \(f(x) = -0,5 (x + 1)(x - 5)\) et sa courbe représentative, une parabole.

• Affirmation 1 : Il s'agit de résoudre graphiquement l'équation \(f(x) = 4\). La méthode consiste à tracer la droite horizontale d'équation \(y=4\) et à identifier les abscisses des points d'intersection avec la parabole \(C_f\). Une lecture précise du graphique permet de vérifier si les solutions sont bien 1 et 3.
• Affirmation 2 : On doit ici résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) > 2,5\). Cela revient à déterminer l'intervalle des abscisses \(x\) pour lesquelles la courbe de \(f\) se situe strictement au-dessus de la droite d'équation \(y=2,5\).
• Affirmation 3 : Cette question teste la compréhension de l'influence du coefficient dominant 'a' sur l'orientation de la parabole. La fonction donnée a un \(a = -0,5 < 0\), sa parabole est donc "tournée vers le bas" (convexe). L'affirmation propose une fonction avec \(a = 0,5 > 0\), dont la parabole serait "tournée vers le haut" (concave). Il faut donc comparer les orientations pour conclure.
• Affirmation 4 : L'analyse porte sur une autre fonction, \(h(x) = 3 - 2x^2\). Il faut identifier son coefficient dominant (\(a=-2\)) pour déterminer l'orientation de la parabole, et reconnaître sa forme canonique implicite pour trouver les coordonnées de son sommet, qui correspond au maximum de la fonction.

Exercice 2 : Une racine, une factorisation, un signe

Cet exercice est un travail purement algébrique sur le polynôme du second degré \(g(x) = 3x^2 – 3x – 18\). Il permet de maîtriser les différentes formes d'un trinôme et leur utilité.

• Question 1 : On commence par calculer une image, \(g(-2)\). Le résultat obtenu, \(g(-2)=0\), permet de conclure que -2 est une racine du polynôme \(g\).
• Question 2 : Il est demandé de développer la forme factorisée \(3(x + 2)(x - 3)\). En effectuant la double distributivité puis en multipliant par 3, on doit retrouver l'expression développée de \(g(x)\), confirmant ainsi que c'est bien sa forme factorisée.
• Question 3 : Grâce à la forme factorisée, l'équation \(g(x)=0\) devient une équation produit nul, \(3(x+2)(x-3)=0\), dont les solutions (les racines) sont immédiates à trouver.
• Question 4 : L'étude du signe de \(g(x)\) se fait à l'aide d'un tableau de signe. On y place les racines trouvées précédemment, puis on détermine le signe du trinôme sur les différents intervalles, en se basant sur le signe du coefficient dominant \(a=3\).
• Question 5 : La dernière étape est la résolution des inéquations \(g(x) \leq 0\) et \(g(x) > 0\). Les ensembles de solutions se lisent directement dans le tableau de signe établi à la question précédente.

Exercice 3 : Question ouverte : le gratin refroidit-il régulièrement?

Ce dernier exercice est une mise en situation concrète qui utilise un modèle fonctionnel pour décrire un phénomène physique : le refroidissement d'un plat. La température est modélisée par la fonction \(T(t) = 20 + \frac{(60-t)^2}{25}\) pour \(t\) en minutes.

• Question 1 : La question clé ici est le calcul du taux de variation de la fonction \(T\) entre plusieurs instants. Par exemple, entre 0 et 10 minutes, on calcule \(\frac{T(10)-T(0)}{10-0}\). Ce taux représente la vitesse moyenne de refroidissement sur l'intervalle. L'interprétation de ce taux comme la pente d'une sécante à la courbe est un point important.
• Question 2 : Pour évaluer l'affirmation de Sophie ("Le gratin perd toujours autant de degrés toutes les dix minutes"), il faut comparer les taux de variation calculés sur les différents intervalles de 10 minutes. Si les taux ne sont pas constants, l'affirmation est fausse, ce qui signifie que le refroidissement n'est pas linéaire. Le signe négatif des taux de variation confirme que la température est bien décroissante.

En somme, ce sujet de contrôle pour Première technologique est un excellent outil de révision sur les fonctions polynômes du second degré, mêlant habilement lecture graphique, manipulation algébrique et application à un problème concret. Il prépare efficacement à l'évaluation des compétences sur ce chapitre fondamental du programme de mathématiques.