Introduction
Allez, on complique un peu les choses. On va donner le sinus et le cosinus pour des angles plus compliqués. Pour moi, des exemples compliqués, ce sont des angles que vous ne pouvez pas placer du premier coup sur le cercle trigonométrique. On commence avec \(\cos(2015\pi)\).
Calcul de \(\cos(2015\pi)\)
Pour calculer \(\cos(2015\pi)\), la première chose qu'on va faire, c'est qu'on va prendre \(2015\pi\) et on va trouver sa mesure principale, c'est-à-dire \(2\pi n + \theta\), où \(n\) est un certain nombre de tours du cercle et \(\theta\) est la position finale.
Je sais que \(2015\pi = 1007 \times 2\pi + \pi\). Donc, pour placer \(2015\pi\), je fais \(1007\) fois le tour du cercle (autant vous dire que je ne vais pas le faire à la main) et à la fin je rajoute \(\pi\). Je me retrouve donc à \(2015\pi\).
Je vous rappelle que l'on cherche le cosinus de \(2015\pi\). Le cosinus, c'est l'abscisse de chaque point sur le cercle trigonométrique. Donc, si je cherche l'abscisse de ce point, je sais que sur notre cercle (qui a un rayon de 1), cette longueur vaut 1. Donc, l'abscisse de ce point sur l'axe horizontal est -1. Pourquoi -1 ? Parce qu'on se positionne dans le sens positif pour les angles et dans le sens négatif pour les abscisses. Du coup, je peux dire que \(\cos(2015\pi) = -1\).
Calcul de \(\sin(125\pi/2)\)
Pour \(\sin(125\pi/2)\), c'est pareil, c'est compliqué pour moi à positionner. Donc, je vais dire que \(125\pi/2 = 31 \times 2\pi + \pi/2\). Donc, pour positionner \(125\pi/2\), j'ai fait \(31\) fois le tour du cercle, ce qui me ramène à \(\pi/2\), c'est-à-dire ici.
Alors, je cherche \(\sin(125\pi/2)\). Je cherche donc l'ordonnée de ce point. L'ordonnée de ce point est directement sur l'axe vertical. Ce point est sur le cercle qui a un rayon de 1, du coup ici j'ai une longueur de 1. Je suis bien dans les positifs, donc l'ordonnée de ce point est 1.
Conclusion
Vous voyez que dès que vous vous retrouvez face au cosinus ou au sinus d'un angle qui est un peu compliqué, la première chose à faire, c'est de le simplifier en calculant la mesure principale. Une fois que vous avez la mesure principale, vous la positionnez sur le cercle trigonométrique et ensuite, vous vous dites que ce n'est pas compliqué. Vous connaissez trois valeurs du cosinus et du sinus, et avec cela, vous pouvez trouver toutes les valeurs de ces fonctions pour n'importe quel angle.