1. Équation d'une droite avec un vecteur directeur

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment donner l'équation d'une droite à partir d'un point de passage et d'un vecteur directeur. On va le faire de deux manières : une manière très rapide et une manière plus longue mais qui est celle où vous comprenez ce que vous êtes en train de faire. On s'y met tout de suite.

Méthode rapide

La manière la plus rapide de trouver l'équation d'une droite quand on vous a donné un point de passage et un vecteur directeur, c'est à dire qu'en fait on vous demande de trouver l'équation de cette droite là, c'est de dire : "Bon, cette droite, je sais qu'elle va s'écrire \(ax + by = c\), ça c'est l'équation cartésienne d'une droite. Si mon vecteur \(u\) est un vecteur directeur, alors \(b\) sera égal à \(-a\). Donc, rien qu'en regardant la tête de \(u\), mon vecteur directeur, je suis capable de donner les deux premiers termes qui m'intéressent. Donc, \(b = -a\). Donc, je me retrouve avec \(-x - y = c\). Pour trouver la valeur de \(c\), je vais remplacer \(x\) et \(y\) par les coordonnées du point de passage. Vu que mon point est sur cette droite, j'ai le droit de prendre les coordonnées de ce point et de les remplacer dans l'équation de la droite. Donc, mon \(x\) va devenir \(1\) et mon \(y\) va devenir \(2\). Donc, \(-1 - 2 = c\), donc \(c = 3\). Et je peux compléter du coup mon équation : \(-x - y + 3 = 0\). Et voilà, j'ai l'équation cartésienne de ma droite.

Méthode détaillée

Le problème de cette technique, c'est que si vous n'avez strictement rien compris à ce que vous étiez en train de faire, vous avez identifié \(-a\) et \(b\), vous les avez remplacés, puis vous vous êtes dit : "Bon, cette droite, elle passe par le point \(A\), donc j'ai le droit de prendre les coordonnées de ce point et de les remplacer ici à la place de \(x\) et \(y\), ça me donne la valeur de \(c\), je remets, basta." On notera que l'on ne cherche pas à faire disparaître les \(x\) et \(y\), une équation de droite à la fin, il y a du \(x\) et du \(y\), ce sont les variables, il ne faut surtout pas les faire disparaître. Donc, comment on fait quand on a compris ? On va utiliser des histoires de colinéarité de vecteurs. Comment est-ce qu'on s'y prend ? On va dire : "Bon, cette droite là, celle que je recherche, elle a un point dessus que j'appelle par exemple mon point \(M\). Ce point \(M\), ses coordonnées, je ne les connais pas, du coup je les appelle \(x\) et \(y\)." Maintenant, réfléchissons. Si le point \(M\) est sur cette droite, essayons de faire une phrase en termes de vecteurs. Si le point \(M\) est sur la droite, ça veut dire que le vecteur \(\overrightarrow{AM}\) et le vecteur \(\overrightarrow{u}\) sont colinéaires. Le vecteur \(\overrightarrow{u}\), je le connais, ses coordonnées sont \(1\) et \(-1\). Le vecteur \(\overrightarrow{AM}\), c'est quoi ses coordonnées ? Je connais celles de \(M\), je connais celles de \(A\), je connais la formule qui me permet de calculer les coordonnées d'un vecteur sachant qu'on a deux points. Ça va faire \(x - 1\) et \(y - 2\). Et vu que ces deux vecteurs sont colinéaires, ça veut dire que leur déterminant est égal à \(0\). Le déterminant de deux vecteurs, c'est \(x \cdot y - a \cdot b\). Donc, \(y - 2 - (x - 1) = 0\). Donc, \(y - 2 + 1 - x = 0\). Donc, \(y - x - 1 = 0\). Donc, \(y - x + 1 = 0\). Donc, \(-x + y + 1 = 0\). Et voilà, j'ai l'équation de ma droite. Pour ce chapitre, mes amis, on vous a mis des petits exercices en dessous. À vos souris !