Contrôle de Mathématiques Corrigé : Dérivation Globale en Première Spécialité
Ce sujet de contrôle pour le niveau Première spécialité est une évaluation complète sur le chapitre de la dérivation globale. Il s'adresse aux élèves souhaitant s'entraîner et valider leurs compétences sur l'étude de fonctions, un pilier du programme de mathématiques au lycée. Le contrôle, d'une durée d'une heure, autorise la calculatrice et se compose de quatre exercices variés qui balayent les savoir-faire essentiels : lecture graphique, dérivation de polynômes et de quotients, construction de tableaux de variation, recherche d'extremums et détermination d'équations de tangente. Ce document est une ressource idéale pour réviser avant une évaluation.
Exercice 1 : Lecture graphique et interprétation de la dérivée (4 points)
Le premier exercice est une mise en jambes qui évalue la capacité à lier le comportement d'une fonction à sa dérivée à partir d'une représentation graphique. La courbe d'une fonction f, définie et dérivable sur l'intervalle `[-1; 5]`, est fournie. L'élève doit analyser plusieurs affirmations et déterminer, en justifiant, si elles sont vraies ou fausses. Cet exercice teste des compétences fondamentales :
- Lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation : L'affirmation " `f'(x) \le 0` pour tout x de `[3; 5]` " demande de constater que la fonction est décroissante sur cet intervalle, et donc que sa dérivée est négative ou nulle.
- Lecture du signe de la fonction : L'affirmation " `f(x) \ge 0` pour tout x de `[0; 3]` " nécessite de vérifier la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses.
- Lecture du sens de variation : Il est demandé de vérifier si " f est croissante sur `[-1; 3]` " et si " `f'(x) \ge 0` pour tout x de `[2; 4]` ", ce qui implique une lecture attentive des variations de la fonction sur les intervalles spécifiés.
Cet exercice est crucial car il ancre la notion théorique de la dérivée dans une interprétation visuelle et concrète.
Exercice 2 : Étude d'une fonction polynôme et optimisation (6 points)
Cet exercice est un problème concret d'optimisation. Il s'agit de modéliser le nombre de clients dans un salon de thé à l'aide d'une fonction polynôme du troisième degré. La fonction est définie sur l'intervalle `[0; 10]` par l'expression :
`f(x) = -\frac{1}{2}x^3 + \frac{27}{4}x^2 - 21x + 35`
L'étude se déroule en trois étapes classiques :
- Calcul de la fonction dérivée : La première question consiste à calculer `f'(x)`, ce qui fait appel à la maîtrise des formules de dérivation des fonctions puissances.
- Étude de signe et tableau de variations : Une fois la dérivée `f'(x)` obtenue (qui est un polynôme du second degré), il faut étudier son signe. Cela implique de trouver ses racines et de déterminer le signe du trinôme. Les résultats permettent de construire le tableau de variations complet de f sur l'intervalle `[0; 10]`.
- Recherche d'un extremum : La dernière question demande d'exploiter le tableau de variations pour déterminer l'heure à laquelle le nombre de clients est maximal et de calculer ce maximum. C'est une application directe de l'étude de fonction à un problème d'optimisation.
Exercice 3 : Étude d'une fonction rationnelle et équation de la tangente (5 points)
L'exercice 3 se concentre sur l'étude d'une fonction rationnelle, définie sur `I = ]-\infty; 3[ \cup ]3; +\infty[` par :
`g(x) = \frac{2x - 7}{3 - x}`
Les deux questions testent des compétences techniques essentielles de la dérivation :
- Étude des variations : Il faut calculer la dérivée `g'(x)` en utilisant la formule de dérivation d'un quotient `(u/v)'`. L'étude du signe de cette dérivée, qui est souvent plus simple pour une fonction homographique, permet de construire le tableau de variations de g sur son ensemble de définition.
- Équation de la tangente : La seconde question demande de déterminer l'équation de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse 2. Cela nécessite d'appliquer la formule `y = g'(a)(x-a) + g(a)`, après avoir calculé les valeurs de `g(2)` et `g'(2)`.
Exercice 4 : Variations et encadrement d'une fonction rationnelle (5 points)
Le dernier exercice propose une autre étude de fonction rationnelle, mais sur un intervalle fermé et borné. La fonction h est définie sur `[3; 10]` par :
`h(x) = \frac{2x^2}{x-2}`
Les objectifs sont les suivants :
- Étude des variations sur un intervalle : Comme pour l'exercice précédent, la première étape est de dériver la fonction h (en utilisant la formule du quotient) et d'étudier le signe de `h'(x)` pour en déduire les variations de h spécifiquement sur l'intervalle `[3; 10]`.
- Détermination d'un encadrement : En s'appuyant sur le tableau de variations, la question finale est de trouver un encadrement des valeurs de `h(x)`. Cela revient à identifier le minimum et le maximum de la fonction sur l'intervalle `[3; 10]` en calculant les images des bornes et des éventuels extremums locaux.
En conclusion, ce sujet de maths est un excellent outil de révision, couvrant de manière exhaustive les compétences liées à la dérivation globale en Première.