Contrôle Corrigé sur la Loi Binomiale - Terminale Technologique

Découvrez un sujet de contrôle complet sur la loi binomiale, spécialement conçu pour les élèves de Terminale Technologique. Ce sujet de 1 heure, sans calculatrice, est idéal pour réviser et maîtriser les concepts clés des probabilités. Il aborde la justification d'un schéma de Bernoulli, le calcul de probabilités à la main à l'aide des coefficients binomiaux, et le calcul et l'interprétation de l'espérance mathématique. Ce document est une ressource pédagogique parfaite pour s'entraîner en conditions réelles, avec des exercices progressifs allant des questions rapides à un problème ouvert de modélisation.

Ce contrôle corrigé vous permettra de valider vos compétences sur :

• La reconnaissance d'une situation relevant d'une loi binomiale.
• Le calcul des coefficients binomiaux \(\binom{n}{k}\) via le triangle de Pascal.
• L'application de la formule de la loi binomiale \(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\).
• Le calcul de probabilités d'événements comme \(P(X=k)\), \(P(X \leq k)\) ou \(P(X \geq k)\).
• La détermination et l'interprétation de l'espérance \(E(X) = np\).

Exercice 1 : Six questions flash pour tester les bases

Cet exercice rapide de 3 points sert à vérifier les prérequis et les connaissances fondamentales. Chaque question demande une réponse directe sans justification, permettant d'évaluer l'agilité et la maîtrise des formules et concepts essentiels.

• Question 1 : Factorisation d'une expression du second degré. Il s'agit de factoriser \(x^2 - \frac{25}{4}\) en reconnaissant une identité remarquable de la forme \(a^2 - b^2\).
• Question 2 : Résolution d'une inéquation du second degré. Il faut déterminer l'ensemble des solutions de \(-3(x + 1)(x - 4) \geq 0\) en utilisant un tableau de signes.
• Question 3 : Application de pourcentages successifs. Un prix subit une baisse de 20% puis une hausse de 20%. La question porte sur le taux d'évolution global, un classique des pièges sur les pourcentages.
• Question 4 : Premier contact avec la loi binomiale. On lance 3 fois une pièce et on note \(X\) le nombre de "pile". Il faut calculer \(P(X = 0)\). C'est une application directe d'un schéma de Bernoulli avec \(n=3\) et \(p=0.5\).
• Question 5 : Manipulation des coefficients binomiaux. À partir de la ligne \(n=5\) du triangle de Pascal, il est demandé de calculer la valeur de \(\binom{6}{3}\).
• Question 6 : Utilisation de l'espérance. Une variable aléatoire \(Y\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n, 0.25)\) avec une espérance \(E(Y)=5\). Le but est de retrouver le paramètre \(n\) en résolvant l'équation \(np=5\).

Exercice 2 : Compter les chemins et calculer des probabilités

Cet exercice de 8 points approfondit la loi binomiale en liant les coefficients binomiaux au dénombrement de chemins et en demandant des calculs de probabilités sans calculatrice.

1. Construction du triangle de Pascal : La première étape consiste à construire le triangle de Pascal jusqu'à la ligne \(n=5\), un outil indispensable pour obtenir rapidement les coefficients binomiaux.
2. Interprétation combinatoire : On demande d'expliquer pourquoi, pour 5 répétitions d'une épreuve de Bernoulli, le coefficient \(\binom{5}{1}\) est égal à 5. Cela revient à lier la valeur du coefficient au nombre de chemins sur un arbre de probabilités correspondant à un unique succès.
3. Calculs de probabilités : Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi binomiale \(\mathcal{B}(5, \frac{1}{3})\). L'objectif est de calculer plusieurs probabilités sous forme de fraction.
   • Calcul de \(P(X=0)\) et \(P(X=5)\), les cas extrêmes.
   • Calcul de \(P(X=1)\) et \(P(X=2)\), nécessitant l'utilisation des coefficients binomiaux trouvés précédemment.
   • Calcul de \(P(X \geq 2)\) en utilisant l'événement contraire, une méthode efficace pour simplifier les calculs : \(P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))\).
4. Calcul de l'espérance : Pour finir, il faut calculer l'espérance \(E(X)\) en appliquant la formule \(E(X)=np\).

Exercice 3 : Question ouverte sur un cas pratique (Boîtes de Petri)

Ce problème de 9 points est un exercice de modélisation complet. Il s'agit d'appliquer les outils de la loi binomiale pour analyser une situation concrète de microbiologie et évaluer la pertinence de deux affirmations.

Le contexte : 4 boîtes de Petri sont ensemencées. Chaque boîte a une probabilité \(p=\frac{1}{4}\) d'être contaminée. L'expérience est à refaire si au moins deux boîtes sont contaminées. La variable aléatoire \(X\) représentant le nombre de boîtes contaminées suit donc une loi binomiale \(\mathcal{B}(4, \frac{1}{4})\).

L'analyse porte sur deux affirmations :

• Affirmation 1 (la professeure) : « Au plus une série sur quatre sera à refaire. » Pour vérifier cette affirmation, il faut d'abord traduire l'événement "la série est à refaire" en termes de probabilités, c'est-à-dire calculer \(P(X \geq 2)\). Ensuite, il faut comparer cette probabilité à \(\frac{1}{4}\) (une série sur quatre). Ce calcul se fait en passant par l'événement contraire : \(1 - (P(X=0) + P(X=1))\).
• Affirmation 2 (le collègue) : « En moyenne, chaque série compte une boîte contaminée. » Cette affirmation concerne l'espérance mathématique de la variable aléatoire \(X\). Il suffit de calculer \(E(X) = np = 4 \times \frac{1}{4}\) et de vérifier si le résultat est bien égal à 1, ce qui confirmerait l'affirmation.

Cet exercice exige de justifier le modèle binomial, de traduire un énoncé en langage mathématique, de réaliser les calculs de probabilités et d'espérance, et enfin d'interpréter les résultats pour conclure.