Ce document est un sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Première Spécialité, idéal pour la révision et l'entraînement. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, il couvre trois chapitres essentiels du programme : les automatismes, les polynômes du second degré et la géométrie repérée. Ce corrigé détaillé vous permettra de vous évaluer et de comprendre les méthodes de résolution attendues.

Ce sujet de maths est structuré en trois exercices distincts, précédés d'une partie QCM sur les automatismes, permettant de balayer un large spectre de compétences fondamentales.

Automatismes (QCM - 5 points)

Cette première partie est un questionnaire à choix multiples qui évalue la maîtrise des bases du calcul et du raisonnement algébrique. Aucune justification n'est demandée, seule la rapidité et la précision comptent.

• Question 1 : Résolution d'une équation du type \( \frac{1}{T} = a + b \). Ici, il faut résoudre \( \frac{1}{T} = 2 + \frac{5}{6} \).
• Question 2 : Simplification d'une expression avec des puissances de \( x \), impliquant les règles de calcul sur les exposants : \( \frac{18x^5}{6x^3} \).
• Question 3 : Manipulation d'expressions algébriques littérales, en particulier \( \frac{a \times b}{c} \).
• Question 4 : Factorisation d'une expression polynomiale en reconnaissant un facteur commun. L'expression à factoriser est \( (-2x-6)^2 - (-2x-6)(-5x-8) \).
• Question 5 : Isoler une variable dans une équation linéaire à deux inconnues, à partir de la relation \( -2a - 3c = 7 \), on cherche à exprimer \( c \).
• Question 6 : Résolution d'une inéquation du premier degré simple : \( 3x - 9 < 9x + 9 \).
• Question 7 : Détermination du tableau de signe d'une fonction du second degré présentée sous sa forme factorisée \( f(x) = (2x-14)(-5x-15) \). Il faut trouver les racines puis analyser le signe du produit.

Exercice 1 : Étude de fonctions (3 points)

Cet exercice se concentre sur une propriété fondamentale des fonctions : la parité.

• Question 1 : Il est demandé de déterminer, en justifiant, si les fonctions \( f(x) = 2x^3 - x \) et \( g(x) = -5x^2 + 3 \) sont paires, impaires, ou ni l'une ni l'autre. Cela nécessite de calculer \( f(-x) \) et \( g(-x) \) et de les comparer à \( f(x) \) et \( g(x) \).
• Question 2 : Cette question teste la compréhension de la définition d'une fonction impaire. Sachant que \( f \) est impaire et que \( f(-4) = 7 \), il faut en déduire \( f(4) \) en utilisant la relation \( f(-x) = -f(x) \).

Exercice 2 : Géométrie Repérée (6 points)

L'exercice porte sur la géométrie analytique dans le plan, et plus spécifiquement sur les équations de droites et leur position relative.

• Question 1 : Calcul d'une équation cartésienne de la droite \( (AB) \) à partir des coordonnées des points \( A(-2; 5) \) et \( B(1; 4) \).
• Question 2 : On donne l'équation de la droite \( (EF) \) : \( x - 2y + 2 = 0 \). La tâche est de montrer que les droites \( (AB) \) et \( (EF) \) ne sont pas parallèles, ce qui se fait en comparant leurs vecteurs directeurs ou leurs pentes.
• Question 3 : Trouver les coordonnées du point d'intersection \( I \) des deux droites en résolvant le système de deux équations linéaires à deux inconnues : \( \begin{cases} x + 3y = 13 \\ -x + 2y = 2 \end{cases} \).

Exercice 3 : Polynômes du Second Degré et Optimisation (6 points)

Cet exercice complet en deux parties lie l'étude d'une fonction polynôme du second degré à un problème concret d'optimisation d'aire.

• Partie 1 :
  1. Analyse de la fonction \( f(x) = -(x-3)^2 + 9 \) sur l'intervalle \( [0; 6] \). La forme canonique permet de déterminer facilement le sens de variation.
  2. Détermination du minimum et du maximum de la fonction \( f \) sur l'intervalle d'étude, en utilisant les variations et le sommet de la parabole.
  3. Développement de la forme canonique pour obtenir la forme développée \( f(x) = ax^2 + bx + c \).
• Partie 2 :
  1. Mise en équation d'un problème géométrique. On exprime l'aire \( A(x) \) d'un rectangle en fonction d'une longueur variable \( x \).
  2. Démonstration que l'aire est donnée par l'expression \( A(x) = 6x - x^2 \), qui est un polynôme du second degré.
  3. Résolution du problème d'optimisation : trouver la valeur de \( x \) pour laquelle l'aire est maximale. Cela revient à trouver l'abscisse du sommet de la parabole représentative de \( A(x) \), en s'appuyant sur l'étude menée en partie 1.

En résumé, ce sujet de bac blanc ou contrôle de maths est un excellent outil de préparation pour les élèves de Première spécialité. Il aborde des compétences clés comme la résolution d'équations, l'étude de fonctions (parité, variations), la géométrie analytique et l'optimisation à l'aide de polynômes du second degré.