Ce contrôle de mathématiques pour la Première spécialité porte sur deux chapitres fondamentaux : le produit scalaire et l'étude de fonctions via la dérivation. Il s'agit d'un sujet complet qui évalue la capacité à appliquer des outils géométriques et analytiques pour résoudre des problèmes variés. Ce document propose un corrigé détaillé, idéal pour la préparation aux évaluations et la consolidation des acquis.

Le sujet est divisé en trois exercices progressifs, couvrant le calcul de produit scalaire, la recherche d'un angle, l'étude d'une fonction du second degré issue d'un contexte géométrique, et un problème d'optimisation classique.

Exercice 1 : Application directe du Produit Scalaire

Cet exercice est une introduction classique au produit scalaire dans un repère orthonormé. À partir d'un triangle $ABC$ dont les coordonnées des sommets sont données graphiquement, il s'agit de mobiliser les différentes formules du produit scalaire.

• Question 1 : La première étape consiste à calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ en utilisant la formule analytique. Il faut d'abord déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ puis appliquer la formule $XX' + YY'$.
• Question 2 : Il est demandé de calculer la longueur $AC$, ce qui revient à trouver la norme du vecteur $\vec{AC}$, notée $||\vec{AC}||$, à l'aide de la formule $\sqrt{X^2 + Y^2}$.
• Question 3 : La dernière question de cet exercice fait le lien entre les deux formules du produit scalaire. En utilisant l'expression $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = ||\vec{AB}|| \cdot ||\vec{AC}|| \cdot \cos(\widehat{BAC})$, on peut isoler le cosinus pour trouver la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$. Cela nécessite le calcul préalable de la norme du vecteur $\vec{AB}$.

Exercice 2 : Lien entre Produit Scalaire et Étude de Fonction

Ce deuxième exercice approfondit la notion de produit scalaire en l'associant à une étude de fonction. Les coordonnées de deux points dépendent d'un paramètre réel $x$, ce qui transforme le produit scalaire en une fonction de $x$.

• Questions 1 et 2 : On commence par exprimer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ en fonction de $x$, puis on calcule leur produit scalaire. Le résultat est une fonction polynomiale du second degré : $f(x) = x^2 - 2x + 5$.
• Question 3a : Il s'agit d'une étude de fonction classique. On étudie les variations de la fonction $f(x)$ sur $\mathbb{R}$. Pour cela, on calcule sa dérivée $f'(x) = 2x - 2$, on étudie son signe, et on dresse le tableau de variation de $f$.
• Question 3b : Grâce au tableau de variation, on détermine la valeur de $x$ pour laquelle la fonction $f$ (et donc le produit scalaire) atteint son minimum. L'exercice se conclut en revenant à la géométrie : pour cette valeur de $x$ qui minimise le produit scalaire, on calcule les longueurs $AB$ et $AC$ et on en déduit à nouveau la mesure de l'angle $(\vec{AB}, \vec{AC})$.

Exercice 3 : Problème d'Optimisation d'Aire

Cet exercice est un problème concret d'optimisation, une application majeure de la dérivation. L'objectif est de minimiser la surface d'un conteneur à base carrée pour un volume donné, afin de minimiser les coûts de production.

• Questions 1 et 2 : La première phase est la modélisation. On exprime le volume $V = x^2 y$ et l'aire totale des parois $A = 2x^2 + 4xy$. En utilisant la contrainte sur le volume ($V=8m^3$), on exprime l'aire comme une fonction d'une seule variable, $x$ : $A(x) = 2x^2 + \frac{32}{x}$.
• Question 3 : C'est le cœur de l'analyse. On doit dériver la fonction $A(x)$ pour trouver ses variations. Le calcul de la dérivée $A'(x)$ fait appel aux formules de dérivation des fonctions puissances et inverses. On montre que $A'(x) = \frac{4(x^3 - 8)}{x^2}$. Pour étudier le signe de $A'(x)$, on factorise l'expression $x^3 - 8$ en $(x-2)(x^2+2x+4)$ et on montre que le second facteur est toujours positif.
• Question 4 : La dernière étape consiste à exploiter le signe de la dérivée pour construire le tableau de variation de la fonction Aire $A(x)$ sur son domaine de définition $]0; +\infty[$. Le tableau révèle un minimum atteint pour une certaine valeur de $x$. On en déduit alors les dimensions optimales ($x$ et $y$) du conteneur.

Ce sujet de contrôle est un excellent entraînement pour les élèves de Première spécialité, mêlant habilement la géométrie vectorielle et l'analyse de fonctions pour résoudre des problèmes complexes.