Contrôle Corrigé de Mathématiques : Probabilités Conditionnelles pour Première Technologique

Découvrez notre sujet de contrôle complet sur le chapitre des probabilités conditionnelles, spécialement conçu pour les élèves de Première technologique. Ce document PDF, d'une durée d'une heure et sans calculatrice, est un excellent outil de révision. Il est structuré en trois exercices progressifs qui balayent l'ensemble des compétences clés du chapitre : manipulation des arbres pondérés, utilisation des tableaux croisés d'effectifs, et interprétation de données dans un contexte réel. Ce sujet corrigé vous aidera à maîtriser les calculs de probabilités d'intersections, d'unions, les probabilités conditionnelles, la formule des probabilités totales et la notion d'indépendance. Préparez-vous efficacement pour votre prochaine évaluation avec ce sujet de maths type.

Exercice 1 : Un arbre à compléter (4 points)

Cet exercice d'introduction se concentre sur la compétence fondamentale de la lecture et de la complétion d'un arbre pondéré. Il permet de s'assurer que les bases du chapitre sont solides avant d'aborder des problèmes plus complexes.

• Question 1 : Il s'agit de recopier et de compléter un arbre de probabilités. Cela implique de connaître la règle de base : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1. Par exemple, si \(P(A) = 0.4\), alors \(P(\bar{A}) = 1 - 0.4 = 0.6\).
• Question 2 : Cette question teste la capacité à lire une probabilité conditionnelle directement sur l'arbre. Le nombre 0,3 est la probabilité de l'événement B sachant que l'événement A est réalisé, ce qui se note \(P_A(B)\).
• Question 3 : Ici, on demande de calculer la probabilité de l'intersection de deux événements. Il faut appliquer la formule du cours : \(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\). L'exercice demande de le faire pour \(A \cap B\) et \(\bar{A} \cap B\).
• Question 4 : La dernière question de cet exercice vise à vérifier la compréhension de la formule des probabilités totales dans un cas simple. En calculant \(P(A \cap \bar{B})\) et en l'ajoutant à \(P(A \cap B)\), on doit retrouver \(P(A)\), ce qui illustre que \(P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})\). C'est une étape clé pour de nombreux problèmes de probabilités.

Exercice 2 : Les chutes à la résidence des Tilleuls (10 points)

Ce deuxième exercice, plus conséquent, est un problème concret basé sur des données réelles d'un EHPAD. Il met en œuvre l'utilisation d'un tableau croisé d'effectifs pour organiser les données et calculer diverses probabilités. Il est divisé en deux parties : la lecture des données, puis leur analyse pour en tirer des conclusions.

Partie A : Lire les données

• Question 1 : La première étape consiste à traduire les informations données dans le texte pour compléter un tableau d'effectifs. Il faut bien identifier les différentes catégories (suivre l'atelier A, faire une chute C) et leurs contraires, puis remplir les cases et les totaux.
• Question 2 : On demande de décrire un événement, ici \(\bar{A} \cap C\), par une phrase ("le résident n'a pas suivi l'atelier et a fait au moins une chute") et de donner son cardinal, c'est-à-dire l'effectif correspondant dans le tableau.
• Question 3 : Cette question porte sur le calcul de probabilités simples et d'intersection à partir du tableau : \(P(A)\), \(P(C)\) et \(P(A \cap C)\). Il suffit de diviser l'effectif de la case concernée par l'effectif total.
• Question 4 : On aborde ici la probabilité d'une union d'événements, \(P(A \cup C)\). Il faut utiliser la formule \(P(A \cup C) = P(A) + P(C) - P(A \cap C)\) en utilisant les probabilités précédemment calculées.

Partie B : Comparer et conclure

• Question 5 : Le calcul de probabilités conditionnelles est au cœur de cette partie. Il faut calculer \(P_A(C)\) (probabilité de chuter sachant qu'on a suivi l'atelier) et \(P_{\bar{A}}(C)\) (probabilité de chuter sachant qu'on n'a pas suivi l'atelier) pour pouvoir comparer l'efficacité de l'atelier.
• Question 6 : La notion d'indépendance est testée. Pour savoir si les événements A et C sont indépendants, on peut comparer \(P(A \cap C)\) avec le produit \(P(A) \times P(C)\), ou comparer \(P_A(C)\) avec \(P(C)\).
• Question 7 : Il s'agit de calculer une probabilité conditionnelle "inversée", \(P_C(A)\) (probabilité qu'un résident ayant chuté ait suivi l'atelier), et d'interpréter ce résultat dans le contexte de l'EHPAD.
• Question 8 : La dernière question est une question de synthèse et d'interprétation. En se basant sur les résultats, notamment la comparaison entre \(P_A(C)\) et \(P_{\bar{A}}(C)\), l'élève doit rédiger une conclusion argumentée sur l'impact de l'atelier de gymnastique sur le risque de chute.

Exercice 3 : La bande dessinée à la médiathèque (6 points)

Cet exercice final est un problème d'analyse critique de l'information. Il demande de confronter les données brutes d'un rapport d'activité avec les affirmations d'un article de journal. C'est un excellent exercice pour apprendre à traduire un langage courant en langage mathématique et à vérifier la validité d'une information chiffrée.

• Question 1 : L'objectif est de traduire des phrases d'un article en notations de probabilités. Par exemple, "15% des inscrits sont des adolescents amateurs de BD" correspond à la probabilité de l'intersection \(P(T \cap B)\), tandis que "60 % des emprunteurs de bandes dessinées sont des adolescents" correspond à une probabilité conditionnelle, \(P_B(T)\).
• Question 2 : À partir des données chiffrées du premier document, l'élève doit calculer les valeurs réelles des probabilités identifiées à la question 1, comme \(P(T \cap B)\), \(P_T(B)\) et \(P_B(T)\).
• Question 3 et 4 : Ces questions demandent de comparer les affirmations du journaliste avec les probabilités réelles calculées. L'élève doit justifier si les phrases sont exactes ou non, et le cas échéant, proposer une reformulation correcte. Cela met en évidence la confusion fréquente entre probabilité d'une intersection et probabilité conditionnelle.