Contrôle Corrigé de Géométrie : Sections Coniques et Tangentes (Terminale Technologique)

Ce sujet de mathématiques pour la Terminale Technologique, intitulé "Activités géométriques", est une évaluation complète sur l'application de la géométrie analytique, de la dérivation et des propriétés des courbes. D'une durée d'1h30, il est composé de trois exercices qui permettent de valider des compétences essentielles en résolution de problèmes concrets et en analyse de raisonnement.

Exercice 1 : La tache lumineuse d'un projecteur de musée (8 points)

Cet exercice est un problème concret d'application sur les sections coniques. Il s'agit d'étudier la forme de la tache lumineuse produite par un projecteur, modélisé par un cône de révolution, sur un mur plan. Les questions balayent les différentes natures de sections possibles.

• Question 1 & 2 : On étudie le cas où l'axe du projecteur est perpendiculaire au mur (β = 90°). La tache est un cercle. Il est demandé de justifier la nature de la section et de calculer son diamètre en utilisant des relations trigonométriques dans un triangle rectangle (avec tan(30°)) et le principe de proportionnalité (Thalès) lorsque la distance au mur change.
• Question 3 & 4 : L'axe est ensuite incliné (β = 60°). La section devient une ellipse. Il faut calculer la longueur de son grand axe [PQ] à partir des hauteurs données, puis vérifier si le point M est le milieu de ce segment en utilisant la formule des coordonnées du milieu.
• Question 5 : Cette question fait appel à l'intuition géométrique sur les propriétés d'une ellipse, notamment la position de la tangente en un sommet par rapport à son grand axe.
• Question 6 : La dernière partie est une question de synthèse sur la classification des coniques. On demande d'identifier la nature de la section lorsque l'angle β est égal à l'angle du cône (30°), ce qui donne une parabole, puis lorsqu'il est inférieur (donnant une hyperbole). Finalement, il faut donner l'intervalle de valeurs de β pour lequel la courbe est fermée (cercle ou ellipse).

Exercice 2 : Le profil d'une chaise longue (8 points)

Ce deuxième exercice aborde la géométrie analytique et la notion de raccordement de courbes sans cassure. Le profil d'une chaise est modélisé par un segment, un arc de parabole et un arc de cercle. La condition "sans cassure" impose que les courbes partagent un point commun et une tangente commune en ce point.

• Question 1, 2 & 3 : On commence par vérifier que les points de jonction appartiennent bien aux courbes définies. On calcule la fonction dérivée de la parabole f(x) = 0,1x² + 0,5 pour trouver sa pente en tout point. En calculant le nombre dérivé en x=0, on montre que la tangente à la parabole est horizontale, tout comme le segment de l'assise, justifiant ainsi un raccordement lisse.
• Question 4 : Le calcul du nombre dérivé en x=5 permet de déterminer l'équation de la tangente T à la parabole au point C.
• Question 5 & 6 : Le raccordement avec l'arc de cercle est plus complexe. Il faut d'abord calculer plusieurs longueurs (distances entre points) à l'aide de leurs coordonnées. Ensuite, en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore, on démontre que le triangle ΩCE est rectangle en C. Ceci prouve que le rayon [ΩC] est perpendiculaire à la droite T, qui est donc bien la tangente au cercle en C. Le dossier et l'appui-tête ayant une tangente commune en C, le raccordement est sans cassure.

Exercice 3 : Le plateau d'une table basse (copie d'un élève) (4 points)

Cet exercice est une tâche d'analyse critique de raisonnement mathématique. Il faut évaluer trois réponses données par un élève concernant le raccordement "sans cassure" des différents éléments formant le bord d'une table.

• Réponse 1 : L'élève justifie un raccordement en M entre deux cercles uniquement par le fait que M est un point commun. Il faut expliquer que cela est insuffisant et compléter en montrant que les tangentes sont communes. Pour deux cercles tangents, cela revient à vérifier l'alignement des centres et du point de contact (O₁, M, O₂).
• Réponse 2 : L'élève justifie correctement un raccordement entre un segment et un cercle en utilisant la propriété fondamentale de la tangente à un cercle, qui est perpendiculaire au rayon au point de contact. Le raisonnement est juste et la propriété bien appliquée.
• Réponse 3 : L'élève commet une erreur de calcul et de logique pour vérifier si un point K appartient à un cercle. La correction nécessite de calculer la distance entre le point K et le centre du cercle O₂ et de la comparer au rayon du cercle.