Contrôle Corrigé de Géométrie pour Terminale Technologique

Ce document propose une analyse détaillée et un corrigé complet d'un sujet de mathématiques de niveau Terminale Technologique, axé sur le chapitre des activités géométriques. Ce contrôle d'une heure, avec calculatrice autorisée, est un excellent outil de révision sur la perspective centrale et les sections coniques, deux notions clés du programme.

Exercice 1 : Le décor d'une chambre peinte (11 points)

Cet exercice est une application pratique et complète des règles de la perspective centrale. L'objectif est de compléter le décor d'une chambre en respectant les principes de la représentation en perspective.

• Question 1 : Analyse du mur du fond, situé dans un plan frontal. Il s'agit de justifier pourquoi sa représentation est un rectangle et de vérifier que ses dimensions sur le dessin respectent bien l'échelle imposée de \(1/100\).
• Question 2 : Construction des éléments clés de la perspective. On doit retrouver le point de fuite principal F en prolongeant les fuyantes (arêtes perpendiculaires au plan frontal) et tracer la ligne d'horizon. Cette question amène aussi à calculer la hauteur réelle de l'œil du spectateur en utilisant l'échelle.
• Question 3 & 4 : Étude des propriétés de la perspective sur des objets (la porte). On vérifie que les lignes de fuite de la porte convergent bien vers F et on analyse la représentation des lignes verticales (les montants), qui restent verticales mais dont la longueur perçue diminue avec l'éloignement.
• Question 5 : Phase de construction. Il s'agit de dessiner une fenêtre sur le mur de droite en utilisant la technique du report de mesures. Les hauteurs réelles sont placées sur le mur du fond, puis projetées sur le mur latéral à l'aide des lignes de fuite partant de F.
• Question 6 : Interprétation de la représentation. On doit expliquer pourquoi, sur le dessin, le haut de la fenêtre peut sembler plus bas que celui de la porte, même si en réalité ils sont à la même hauteur, illustrant ainsi l'effet de la profondeur.

Exercice 2 : Le carnet du stagiaire scénographe (4 points)

Cet exercice de type Vrai ou Faux teste la maîtrise des propriétés théoriques de la géométrie dans l'espace, de la perspective et des sections coniques. Chaque réponse doit être rigoureusement justifiée.

• Affirmation a : « En perspective centrale, deux droites parallèles ont toujours des images parallèles. » C'est faux. Sauf si elles sont parallèles au plan frontal, leurs images sont des droites sécantes au point de fuite.
• Affirmation b : « Un carré peint sur le mur du fond, qui est un plan frontal, est représenté par un carré. » C'est vrai. Les figures appartenant à un plan frontal sont représentées par des figures semblables.
• Affirmation c : « Quand un plan coupe toutes les génératrices d'un cône de révolution sans passer par son sommet, la section est toujours un cercle. » C'est faux. La section est un cercle uniquement si le plan est perpendiculaire à l'axe du cône. Sinon, c'est une ellipse.
• Affirmation d : « La tangente à une ellipse en une extrémité de son grand axe est perpendiculaire au grand axe. » C'est vrai. Il s'agit d'une propriété fondamentale des ellipses.

Exercice 3 : L'applique à réflecteur conique (5 points)

Cet exercice ouvert aborde le thème des sections coniques à travers un problème concret de design d'éclairage. Il s'agit de déterminer la nature des courbes lumineuses projetées sur un mur par une applique conique.

La nature de la section dépend de l'angle entre le plan (le mur) et l'axe du cône de lumière.

• Cas initial : L'axe du cône est parallèle au mur. L'intersection d'un cône par un plan strictement parallèle à son axe est une hyperbole. Les deux courbes lumineuses sont donc les deux branches d'une même hyperbole.
• Cas 2 : L'applique est inclinée de \(40°\). L'angle \(\beta\) entre le plan et l'axe est \(40°\). Le demi-angle du cône \(\alpha\) est \(35°\). Comme \(\beta > \alpha\), le plan coupe toutes les génératrices du cône. La section est alors une ellipse.
• Cas 3 : L'applique est inclinée de \(35°\). L'angle \(\beta\) est égal au demi-angle du cône \(\alpha\) (\(\beta = \alpha = 35°\)). Le plan est donc parallèle à une génératrice du cône. La section est une parabole.