Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3

Introduction à la fonction logarithme

Allez les amis, on est parti pour une présentation de la fonction logarithme. Deux choses à retenir : une chose que vous devez reconnaître et une chose pour essayer de vous intéresser à cette fonction. Vous verrez ce qu'elle peut apporter, physiquement et mathématiquement, à ce que vous connaissez déjà. La première chose à retenir, c'est que la fonction logarithme est absolument indissociable d'une fonction que vous connaissez bien, la fonction exponentielle. Pour rappel, la fonction exponentielle est une fonction qui vaut 0 en moins l'infini, qui en 0 prend la valeur de 1 et qui ensuite va monter très fortement jusqu'à plus l'infini. Cette fonction, c'est la fonction exponentielle de \(x\), qu'on note aussi \(e^x\). La fonction logarithme, c'est le symétrique de la fonction exponentielle par rapport à la droite qui va couper cet espace en deux. Cette droite, c'est l'équation affine \(y = x\), donc son ordonnée à l'origine est zéro, elle passe bien par l'origine et son coefficient directeur est 1.

Propriétés de la fonction logarithme

La fonction logarithme, celle qui nous intéresse, va donc partir de zéro et ensuite elle va monter doucement vers plus l'infini. Cette fonction, notée \(\ln(x)\) ou logarithme naturel de \(x\), a pour propriété que \(\ln(1) = 0\). Je vous rappelle pour mémoire que \(e^0 = 1\). On commence déjà à voir une symétrie : \(\ln(1) = 0\) et \(e^0 = 1\). Ce n'est pas étonnant, étant donné que ces deux fonctions sont en miroir l'une de l'autre. Il faut absolument que vous mémorisiez ces propriétés, car elles vont vous servir de rappel pour les limites de l'exponentielle, mais aussi pour les limites du logarithme. Le domaine de définition du logarithme, c'est-à-dire les valeurs que j'ai le droit de mettre dans \(\ln(x)\), ce sont toutes les valeurs qui sont positives, et plus que ça, strictement positives.

Applications de la fonction logarithme

À quoi sert cette fonction logarithme ? Une première application, pour ceux qui ont connu leurs grands-parents ou pour ceux qui sont assez vieux pour avoir des grands-parents qui ont utilisé les règles à calcul. Les règles à calcul, c'était pour les darons avant la calculatrice. C'était une règle qui permettait, en faisant glisser des petits coulisseaux, de faire des grosses multiplications compliquées. Comment ça marche ? Le logarithme a une propriété qui est de dire que \(\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)\). Pour ceux qui ont sérieusement bossé l'exponentielle en premier, ça devrait vous rappeler quelque chose. Ce genre de relation fonctionnelle, on va voir qu'on les avait avec l'exponentielle aussi, mais dans une vidéo plus tard. En attendant, vous pouvez voir qu'elle est là, cette propriété magique qui prend un produit, donc une grosse multiplication, et la transforme en une somme. Une autre application très importante du logarithme, c'est de représenter des fonctions qui varient beaucoup sur de grands intervalles. Par exemple, si vous étudiez une population de lapins, c'est une croissance exponentielle. En utilisant une échelle logarithmique, on peut avoir une échelle qui n'est pas linéaire. C'est-à-dire que plutôt que d'avoir la même distance entre chaque nombre, on va avoir une distance qui varie. Sur cette échelle, les fonctions exponentielles, les fonctions à forte croissance, vont être plutôt linéaires. C'est-à-dire que ça va être plutôt des droites.

Conclusion

Le logarithme et l'exponentielle sont deux fonctions qui sont vraiment surpuissantes en analyse et en physique. C'est la base. Entraînez-vous à faire ce qui va suivre. Vous allez voir, on va commencer par étudier le logarithme dans sa relation avec l'exponentielle, parce que finalement c'est ça le plus intéressant. Ensuite, on va voir comment étudier le logarithme tout seul et utiliser les techniques qu'on maîtrise déjà. C'est-à-dire les variations, les tangentes, les théorèmes des valeurs intermédiaires, montrer qu'il existe des solutions uniques... On va faire tout le travail qu'on maîtrise habituellement sur ce nouveau "pokémon" qui est la fonction logarithme. À vous de jouer, vous êtes des champions !