Découvrez un sujet de devoir commun de mathématiques complet pour le niveau Première Technologique, idéal pour réviser et s'entraîner. Ce contrôle, d'une durée de 2 heures et sans calculatrice, porte sur plusieurs chapitres clés du programme : les automatismes, la dérivation globale de fonctions, les statistiques à deux variables et les probabilités conditionnelles. Chaque exercice est conçu pour évaluer des compétences précises et fondamentales. Ce document est une ressource parfaite pour les élèves souhaitant consolider leurs connaissances et pour les enseignants à la recherche d'un support d'évaluation pertinent.

Ce sujet corrigé vous permettra de vous familiariser avec le type de questions posées en contrôle et d'identifier vos points forts et les notions à approfondir. Il est divisé en deux parties : une première partie d'automatismes à réponse rapide et une seconde partie composée de trois exercices de réflexion exigeant une justification détaillée.

Première Partie : Automatismes (6 points)

Cette section teste un large éventail de savoir-faire de base, sans justification demandée. C'est un excellent moyen de vérifier la maîtrise des fondamentaux.

• Questions 1, 2, 3 : Pourcentages et évolutions. Ces questions portent sur le calcul d'un taux d'évolution direct, d'un taux d'évolution global suite à des évolutions successives (hausse de 16€ à 18€, baisse de 5% sur deux ans), et la recherche d'une valeur initiale après une augmentation (taux réciproque).
• Question 4 : Calcul littéral. Il est demandé de développer et réduire l'expression \((2x - 1)^2\) en utilisant les identités remarquables.
• Question 5 : Équations. Résolution d'une équation produit-nul simple : \(x(5 - x) = 0\).
• Question 6 : Fonctions affines. Lecture graphique de l'équation réduite d'une droite \((d)\) tracée dans un repère.
• Question 7 : Dérivation. Calcul de la fonction dérivée d'une fonction polynôme du troisième degré : \(f(x) = x^3 - 5x^2 + 2\).
• Question 8 : Sens de variation. Détermination de l'intervalle de décroissance d'une fonction \(g\) à partir du signe de sa dérivée \(g'(x) = (x + 1)(x - 3)\).
• Question 9 : Équation de la tangente. Utilisation du nombre dérivé pour donner l'équation réduite de la tangente à une courbe en un point, connaissant \(h(2) = 5\) et \(h'(2) = -3\).
• Question 10 : Statistiques. Calcul des coordonnées du point moyen \(G\) d'un nuage de points.
• Question 11 : Ajustement affine. Utilisation d'une droite d'ajustement d'équation \(y = 1,5x + 20\) pour effectuer une prédiction.
• Question 12 : Probabilités. Calcul d'une probabilité conditionnelle \(P_A(B)\) à partir de \(P(A)\) et \(P(A \cap B)\).

Deuxième Partie : Exercices (14 points)

Exercice 1 : Deux affirmations sur une fonction de degré 3 (4 points)

Cet exercice se concentre sur l'étude complète d'une fonction polynôme \(f\) définie sur l'intervalle \([0; 5]\) par l'expression \(f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 10\).

• 1. Calcul de dérivée : La première étape consiste à calculer la dérivée \(f'(x)\) et à vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme factorisée \(f'(x) = 3(x - 2)(x - 4)\).
• 2. Tableau de variations : À partir du signe de la dérivée, il faut dresser le tableau de variations complet de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0; 5]\), en précisant les extremums locaux.
• 3. Équation de la tangente : Il s'agit de déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse 3.
• 4. Analyse d'affirmations : La dernière question demande d'évaluer la véracité de deux affirmations. La première concerne le maximum de la fonction sur l'intervalle, nécessitant de comparer les valeurs aux bornes et aux extremums. La seconde porte sur le parallélisme de deux tangentes, ce qui revient à comparer les nombres dérivés aux points concernés.

Exercice 2 : Les loyers d'une agence immobilière (4 points)

Cet exercice aborde les statistiques à deux variables à travers un cas concret d'ajustement affine d'un nuage de points représentant des loyers en fonction de la surface des appartements.

• 1. Point moyen : Calculer les coordonnées du point moyen \(G\) du nuage de points et vérifier son appartenance à la droite d'ajustement \(D\) d'équation \(y = 14x + 204\).
• 2. Interpolation : Estimer le loyer d'un appartement de 60 m² en utilisant l'équation de la droite d'ajustement.
• 3. Recherche d'antécédent : Déterminer la surface maximale qu'un étudiant peut espérer louer avec un budget donné, en résolvant une équation du premier degré.
• 4. Extrapolation et critique du modèle : Calculer le loyer pour une surface de 150 m², bien au-delà des données observées, et expliquer pourquoi ce résultat, issu d'une extrapolation, doit être interprété avec prudence.

Exercice 3 : Les écrans et le sommeil des lycéens (4 points)

Ce dernier exercice est un problème classique de probabilités conditionnelles, modélisé par un arbre pondéré.

• 1. Arbre pondéré : Traduire les données de l'énoncé (pourcentages) en probabilités et représenter la situation par un arbre de probabilités.
• 2. Probabilité d'une intersection : Calculer la probabilité de l'événement "l'élève utilise un écran et dort moins de 7 heures", soit \(P(E \cap M)\), et en donner une interprétation concrète.
• 3. Formule des probabilités totales : Démontrer que la probabilité de l'événement "dormir moins de 7 heures" est de 0,46, en utilisant la formule des probabilités totales.
• 4. Inversion de la probabilité conditionnelle : Calculer \(P_M(E)\) pour vérifier si, parmi les élèves qui dorment peu, plus de la moitié utilisent un écran tard le soir.
• 5. Indépendance : Déterminer si les événements "utiliser un écran tard" et "mal dormir" sont indépendants en comparant \(P(E \cap M)\) et \(P(E) \times P(M)\), et répondre de manière argumentée à une affirmation.