Ce sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Première Spécialité porte sur le chapitre des généralités sur les suites numériques. D'une durée de 1h30, cette évaluation avec calculatrice autorisée permet de balayer les compétences fondamentales relatives à la définition, la représentation, l'étude des variations et la notion de limite d'une suite. C'est un excellent support pour s'entraîner et réviser avant une épreuve. Ce document propose un corrigé détaillé pour chaque exercice, vous permettant de comprendre vos erreurs et de progresser.

Les principaux savoir-faire évalués dans ce contrôle sont :

• Distinguer les suites définies de manière explicite et par récurrence.
• Calculer les premiers termes d'une suite.
• Représenter graphiquement une suite récurrente de type \(u_{n+1} = f(u_n)\).
• Conjecturer le sens de variation et la limite d'une suite.
• Étudier formellement le sens de variation d'une suite (par différence ou étude de fonction).
• Appliquer la définition formelle d'une limite pour trouver un rang à partir duquel les termes sont dans un intervalle donné.

Exercice 1 : Maîtrise des définitions et premiers calculs (4 points)

Cet exercice d'introduction vise à vérifier la compréhension des différentes manières de définir une suite numérique.

1. La première question demande d'identifier le mode de définition de trois suites. Il faut savoir distinguer :
   • Une suite récurrente, où un terme est défini à partir du ou des précédents. Exemple : \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = (n + 2) u_n^2\). Le terme \(u_{n+1}\) dépend de \(u_n\).
   • Une suite explicite, où chaque terme est défini directement en fonction de son rang \(n\). Exemple : \(v_n = -3n^2 + 5\). On peut calculer n'importe quel terme sans connaître les précédents.
2. La deuxième question est un calcul direct des trois premiers termes des suites \((u_n)\) et \((w_n)\). Pour une suite récurrente, il est nécessaire de calculer les termes pas à pas :
   • Pour \((w_n)\) avec \(w_0=2\) et \(w_{n+1}=(1-w_n)^2\), on calcule \(w_1 = (1-w_0)^2 = (1-2)^2 = 1\), puis \(w_2 = (1-w_1)^2 = (1-1)^2 = 0\).
3. La dernière question consiste à manipuler une expression explicite. Pour \(v_n = -3n^2 + 5\), il faut exprimer \(v_{n+1}\) et \(v_{n-1}\) en remplaçant simplement \(n\) par \(n+1\) ou \(n-1\) dans la formule.

Exercice 2 : Représentation graphique et conjectures (5 points)

Cet exercice se concentre sur l'approche graphique des suites récurrentes de la forme \(u_{n+1} = f(u_n)\). Ici, la suite est définie par \(u_0 = -8\) et \(u_{n+1} = 0,3 u_n + 5\), qui est une suite arithmético-géométrique. La fonction associée est \(f(x) = 0,3x + 5\).

1. La compétence clé est la représentation graphique en escalier (ou en colimaçon). En partant de \(u_0 = -8\) sur l'axe des abscisses, on procède comme suit :
   • On monte verticalement jusqu'à la courbe \(\mathcal{C}_f\) pour trouver l'image \(f(u_0)\), qui est \(u_1\).
   • On se déplace horizontalement jusqu'à la droite d'équation \(y=x\) pour 'reporter' la valeur de \(u_1\) sur l'axe des abscisses.
   • On répète le processus pour trouver \(u_2\), \(u_3\), etc.
   Cette construction visuelle est fondamentale pour comprendre le comportement de la suite.
2. À partir du graphique, on doit formuler des conjectures. On observe que les termes sont de plus en plus grands (\(u_0 < u_1 < u_2 < \dots\)), on conjecture donc que la suite \((u_n)\) est croissante. On voit également que les termes semblent se rapprocher d'un point fixe, qui est l'abscisse du point d'intersection de \(\mathcal{C}_f\) et de la droite \(y=x\). On conjecture donc que la suite converge vers une limite finie \(L\).
3. Le bonus demande de trouver la valeur exacte de cette limite. Cela se fait en résolvant l'équation du point fixe \(f(L) = L\), soit \(0,3L + 5 = L\), ce qui donne \(L = \frac{50}{7}\).

Exercice 3 : Étude des variations et seuil (5 points)

Cet exercice aborde l'étude rigoureuse du sens de variation et la recherche d'un rang à partir d'un certain seuil pour des suites explicites.

1. Pour étudier les variations, deux méthodes sont possibles :
   • Pour la suite \((v_n) = -n^2 + n + 21\), il est suggéré d'utiliser la fonction associée \(f(x) = -x^2 + x + 21\). En étudiant le signe de sa dérivée \(f'(x)=-2x+1\), on peut déduire les variations de la fonction, et donc celles de la suite pour \(n \ge 0\).
   • Pour la suite \((u_n) = \frac{3n+2}{5^n}\), on peut étudier le signe de la différence \(u_{n+1} - u_n\) ou, puisque les termes sont positifs, comparer le quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) à 1.
2. La deuxième question est une application pratique de la convergence. Il faut utiliser la calculatrice (mode table ou programme) pour trouver le plus petit entier \(n_0\) tel que \(u_n \le 10^{-3}\). Cela consiste à observer les valeurs de la suite jusqu'à ce qu'elle passe en dessous du seuil de 0.001.

Exercice 4 : Limite et définition formelle (6 points)

Cet exercice complet se concentre sur une seule suite, \(u_n = 5 + \frac{3}{2n+1}\), pour approfondir les notions de variation et de limite.

1. Le calcul des premiers termes avec la calculatrice est une étape préliminaire pour 'sentir' le comportement de la suite.
2. La détermination du sens de variation se fait ici élégamment en étudiant la différence \(u_{n+1} - u_n\): \(u_{n+1} - u_n = \left(5 + \frac{3}{2(n+1)+1}\right) - \left(5 + \frac{3}{2n+1}\right) = \frac{3}{2n+3} - \frac{3}{2n+1}\). En mettant au même dénominateur, on montre que cette différence est toujours négative, prouvant que la suite est décroissante.
3. La troisième question est un exercice clé sur la définition de la limite. On cherche le rang \(n_0\) à partir duquel les termes sont 'proches' de la limite 5, avec une précision de \(10^{-3}\). Il faut résoudre l'inéquation \(|u_n - 5| \le 10^{-3}\), ce qui se traduit par \(\frac{3}{2n+1} \le 10^{-3}\). La résolution de cette inéquation donne la valeur de \(n_0\).
4. La conjecture de la limite est simple : quand \(n\) devient très grand, \(2n+1\) devient très grand, donc \(\frac{3}{2n+1}\) tend vers 0. Par conséquent, \(u_n\) tend vers 5. Le bonus consiste à formaliser ce raisonnement en utilisant les théorèmes sur les limites (limite d'un quotient, d'une somme).