Découvrez le corrigé détaillé d'un contrôle de mathématiques pour le niveau Première spécialité, portant sur les chapitres des généralités sur les suites et les suites arithmétiques et géométriques. Ce sujet, d'une durée d'une heure et sans calculatrice, est un excellent outil pour s'entraîner et maîtriser les notions fondamentales des suites numériques. Ce document propose une analyse pas à pas de chaque exercice, idéale pour les révisions du baccalauréat.

Ce contrôle corrigé aborde des compétences essentielles telles que la reconnaissance de la nature d'une suite, l'étude de suites auxiliaires pour déterminer une forme explicite, et le calcul de sommes de termes à l'aide des formules et du symbole sigma.

Exercice 1 : Nature des suites

Cet exercice demande de déterminer si trois suites données sont arithmétiques, géométriques, ou ni l'une ni l'autre. Une justification rigoureuse est demandée pour chaque cas.

• Suite a : Définie par \( u_n = 4^{n+1} - 4^n \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

  L'astuce consiste à factoriser l'expression pour révéler sa nature. En mettant \( 4^n \) en facteur, on obtient :
  \( u_n = 4^n \times 4^1 - 4^n \times 1 = 4^n(4-1) = 3 \times 4^n \).
  Cette forme \( u_n = u_0 \times q^n \) est la définition explicite d'une suite géométrique de premier terme \( u_0 = 3 \) et de raison \( q=4 \).

• Suite b : Définie par \( u_n = (3n+2)^2 - 9n^2 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

  Ici, il faut développer l'expression à l'aide d'une identité remarquable :
  \( u_n = (9n^2 + 12n + 4) - 9n^2 = 12n + 4 \).
  Cette forme \( u_n = u_0 + nr \) correspond à celle d'une suite arithmétique. On peut le prouver en calculant la différence \( u_{n+1} - u_n \):
  \( u_{n+1} - u_n = (12(n+1)+4) - (12n+4) = 12n+12+4 - 12n - 4 = 12 \).
  La différence est constante et égale à 12, donc \( (u_n) \) est une suite arithmétique de raison \( r=12 \) et de premier terme \( u_0 = 4 \).

• Suite c : Définie par récurrence avec \( u_0 = 4 \) et \( u_{n+1} = u_n + 3n \).

  Pour déterminer sa nature, on étudie la différence et le quotient de deux termes consécutifs :
  - Différence : \( u_{n+1} - u_n = 3n \). Cette différence dépend de \( n \), elle n'est donc pas constante. La suite n'est pas arithmétique.
  - Quotient : \( \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{u_n+3n}{u_n} = 1 + \frac{3n}{u_n} \). Ce quotient dépend de \( n \), il n'est donc pas constant. La suite n'est pas géométrique.
  La suite n'est donc ni arithmétique, ni géométrique.

Exercice 2 : Étude d'une suite avec une suite auxiliaire

Cet exercice classique de Première spécialité se concentre sur l'étude d'une suite homographique \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 1 \) et \( u_{n+1} = \frac{u_n}{1+u_n} \). L'introduction d'une suite auxiliaire \( (v_n) \) est la clé pour résoudre le problème.

1. Calcul des premiers termes :
   Il s'agit d'appliquer la formule de récurrence pour trouver \( u_1, u_2, u_3 \).
   \( u_1 = \frac{u_0}{1+u_0} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \)
   \( u_2 = \frac{u_1}{1+u_1} = \frac{1/2}{1+1/2} = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3} \)
   \( u_3 = \frac{u_2}{1+u_2} = \frac{1/3}{1+1/3} = \frac{1/3}{4/3} = \frac{1}{4} \)
   On peut conjecturer que \( u_n = \frac{1}{n+1} \).
2. Démonstration avec la suite auxiliaire :
   On introduit la suite \( (v_n) \) définie par \( v_n = \frac{1}{u_n} \). Pour démontrer que \( (v_n) \) est arithmétique, on calcule \( v_{n+1} - v_n \) :
   \( v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1}} = \frac{1+u_n}{u_n} = \frac{1}{u_n} + \frac{u_n}{u_n} = v_n + 1 \).
   La relation \( v_{n+1} = v_n + 1 \) montre que \( (v_n) \) est une suite arithmétique de raison \( r=1 \). Son premier terme est \( v_0 = \frac{1}{u_0} = \frac{1}{1} = 1 \).
3. Expression de \( v_n \) puis de \( u_n \) :
   L'expression explicite d'une suite arithmétique est \( v_n = v_0 + nr \). Avec les valeurs trouvées, on a :
   \( v_n = 1 + n \times 1 = n+1 \).
   Enfin, on exprime \( u_n \) en fonction de \( v_n \). Puisque \( v_n = \frac{1}{u_n} \), on a \( u_n = \frac{1}{v_n} \). On obtient donc l'expression explicite de \( (u_n) \) :
   \( u_n = \frac{1}{n+1} \).

Exercice 3 : Calcul de sommes de termes

Ce dernier exercice est dédié au calcul de sommes, une compétence fondamentale pour manipuler les suites arithmétiques et géométriques. Il fait appel à l'utilisation du symbole \( \sum \) (sigma).

1. Écriture avec le symbole \( \sum \) et calcul :
   • \( A = 1 + 2 + 3 + \dots + 300 \)
     C'est la somme des 300 premiers entiers, une suite arithmétique de raison 1. On l'écrit \( A = \sum_{i=1}^{300} i \). La formule de la somme des termes est \( \frac{n(n+1)}{2} \).
     \( A = \frac{300 \times 301}{2} = 150 \times 301 = 45150 \).
   • \( B = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{256} \)
     C'est la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme \( \frac{1}{2} \) et de raison \( \frac{1}{2} \). Comme \( 256 = 2^8 \), il y a 8 termes. On l'écrit \( B = \sum_{i=1}^{8} (\frac{1}{2})^i \). La formule est \( \text{premier terme} \times \frac{1-q^n}{1-q} \).
     \( B = \frac{1}{2} \times \frac{1 - (1/2)^8}{1 - 1/2} = \frac{1}{2} \times \frac{1 - 1/256}{1/2} = \frac{255}{256} \).
   • \( C = 5 + 10 + \dots + 2000 \)
     C'est la somme des termes d'une suite arithmétique de raison 5. Le nombre de termes est \( \frac{2000}{5} = 400 \). On l'écrit \( C = \sum_{i=1}^{400} 5i \). On utilise la formule \( \text{nb de termes} \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2} \).
     \( C = 400 \times \frac{5 + 2000}{2} = 400 \times \frac{2005}{2} = 200 \times 2005 = 401000 \).
2. Calcul d'une somme combinée :
   On doit calculer \( D = \sum_{i=0}^{10} ((-3)^i + 2i - 7) \). Grâce à la linéarité de la somme, on peut la décomposer :
   \( D = \sum_{i=0}^{10} (-3)^i + \sum_{i=0}^{10} 2i - \sum_{i=0}^{10} 7 \)
   - La première somme est géométrique (11 termes, raison -3) : \( \frac{1 - (-3)^{11}}{1 - (-3)} = \frac{1+177147}{4} = 44287 \).
   - La deuxième est arithmétique : \( 2 \sum_{i=0}^{10} i = 2 \times \frac{10 \times 11}{2} = 110 \).
   - La troisième est une constante : \( 11 \times 7 = 77 \).
   Finalement, \( D = 44287 + 110 - 77 = 44320 \).