Contrôle Corrigé de Maths en Terminale Technologique : Sujet 3

Découvrez le corrigé détaillé de ce devoir commun de mathématiques pour les classes de Terminale technologique (STL, STI2D, ST2S, STMG). D'une durée de deux heures, ce sujet couvre plusieurs chapitres clés du programme : les automatismes, les statistiques à deux variables, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et la fonction logarithme. Ce document est une ressource précieuse pour s'entraîner, réviser et comprendre les attentes de l'évaluation.

Partie 1 : Automatismes (4 points)

Cette première partie évalue des compétences de base à travers 8 questions rapides, sans justification attendue. C'est un excellent moyen de vérifier la maîtrise des fondamentaux.

• Question 1 : Calcul d'un pourcentage de pourcentage. Dans un club, 60% des adhérents sont des femmes et 15% de ces femmes font de la compétition. Il fallait trouver le pourcentage total que cela représente.
• Question 2 : Conversion d'une fraction en pourcentage. Une simple conversion de la fraction \( \frac{3}{8} \) en pourcentage.
• Question 3 : Détermination d'une équation de droite. Trouver l'équation réduite de la droite passant par les points \( A(0; 2) \) et \( B(4; 10) \).
• Question 4 : Calcul d'intersection avec l'axe des abscisses. Pour la droite d'équation \( y = -0,5x + 3 \), il est demandé de trouver son point d'intersection avec l'axe des abscisses.
• Question 5 : Lecture d'un diagramme circulaire. Un secteur représente 25% de l'effectif, il faut en déduire son angle en degrés.
• Question 6 : Application de la formule des probabilités composées. Avec \( P(A) = 0,4 \) et \( P_A(B) = 0,5 \), le calcul de \( P(A \cap B) \) est demandé.
• Question 7 : Calcul de probabilité pour une loi binomiale. Pour une variable aléatoire \( X \) suivant la loi binomiale \( \mathcal{B}(5; 0,5) \), il faut calculer \( P(X=5) \).
• Question 8 : Utilisation de la fonction logarithme. Sachant que \( z = \log(y) \), il faut trouver la valeur de \( y \) lorsque \( z = 3 \).

Partie 2 : Exercices d'application (16 points)

Exercice 1 – Les vues d'un premier clip (6 points)

Cet exercice aborde les statistiques à deux variables et la modélisation. On suit le nombre de vues d'un clip vidéo sur 7 jours. L'objectif est de trouver le modèle mathématique le plus adapté à cette croissance.

• 1. Analyse de la pertinence d'un ajustement affine en calculant des quotients.
• 2. Application d'un changement de variable \( z = \log(y) \) pour linéariser le nuage de points.
• 3. Utilisation de la calculatrice pour déterminer l'équation de la droite d'ajustement de \( z \) en \( x \) par la méthode des moindres carrés, sous la forme \( z = ax + b \).
• 4. Retour au modèle initial pour en déduire un ajustement exponentiel de la forme \( y \approx k \times q^x \) et interprétation du paramètre \( q \) comme taux d'évolution.
• 5. Résolution d'une inéquation avec le modèle exponentiel pour déterminer à partir de quand le clip atteindra un million de vues.
• 6. Prédiction à long terme (30 jours) et analyse critique de la validité du modèle sur une longue durée.

Exercice 2 – Trois sources de candidatures (5 points)

Cet exercice est un problème classique de probabilités conditionnelles, parfait pour travailler la manipulation des arbres pondérés et de la formule des probabilités totales.

• 1. Construction d'un arbre pondéré pour modéliser la situation des candidatures provenant de trois sources différentes (site, plateforme, cooptation) et leur probabilité d'être convoqué.
• 2. Calcul d'une probabilité d'intersection \( P(C \cap E) \), c'est-à-dire la probabilité qu'un candidat soit coopté ET convoqué.
• 3. Application de la formule des probabilités totales pour démontrer que la probabilité d'être convoqué, \( P(E) \), est de 0,225.
• 4. Calcul d'une probabilité conditionnelle "inversée" : sachant qu'un candidat est convoqué, quelle est la probabilité qu'il vienne de la cooptation ? Cela implique l'utilisation de la formule de Bayes et une interprétation du résultat.
• 5. Vérification d'une affirmation en calculant une autre probabilité conditionnelle sur l'événement contraire, demandant une analyse rigoureuse.

Exercice 3 – Les petits-déjeuners d'une maison d'hôtes (5 points)

Cet exercice se concentre sur la loi binomiale. Le contexte est celui d'une maison d'hôtes où chaque chambre commande ou non un petit-déjeuner.

• 1. Justification que la variable aléatoire \( X \) comptant le nombre de petits-déjeuners suit une loi binomiale, en vérifiant les quatre conditions de son application et en précisant ses paramètres \( n \) et \( p \).
• 2. Calcul de la probabilité d'un événement précis, \( P(X=6) \), c'est-à-dire que les 6 chambres commandent un petit-déjeuner.
• 3. Utilisation des coefficients binomiaux (donnés par le triangle de Pascal) pour calculer \( P(X=5) \) puis la probabilité cumulative \( P(X \ge 5) \).
• 4. Application des calculs précédents à une situation concrète : la gérante prépare 5 petits-déjeuners, quelle est la probabilité qu'elle n'en ait pas assez ou qu'il lui en reste ?
• 5. Calcul et interprétation de l'espérance mathématique \( E(X) \) pour estimer la recette moyenne sur un mois, reliant ainsi la théorie des probabilités à une application économique.