Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir une compétence ultra importante : comment montrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan. On se fait ça tout de suite.
Comprendre la perpendicularité d'une droite à un plan
De manière générale, pour montrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan, par exemple ce stylo, si je veux montrer qu'il est perpendiculaire au plan du tableau, c'est-à-dire qu'il fait un angle droit avec ce plan, je pourrais prendre un des vecteurs du tableau et tenter de montrer que le stylo est perpendiculaire à ce vecteur.
Cependant, le problème c'est que je peux trouver une configuration où ce vecteur, le orange, est perpendiculaire aux vecteurs noirs et pourtant il n'est pas perpendiculaire au tableau. Donc, pour qu'un vecteur soit perpendiculaire au tableau, il faut que ce vecteur soit perpendiculaire à deux vecteurs du tableau. Si mon vecteur orange est perpendiculaire aux vecteurs noirs et aux vecteurs bleus, alors il est perpendiculaire au tableau.
Conditions de perpendicularité
Est-ce que c'est suffisant comme condition ? Je répète, est-ce que c'est suffisant de dire que pour que le vecteur orange soit perpendiculaire au tableau, il suffit qu'il soit perpendiculaire aux noirs et aux bleus ? Vous pensez que oui ? Regardez ce qui se passe. Si par malheur le noir et le bleu sont collinaires, je peux avoir un vecteur orange qui est perpendiculaire au noir et qui est perpendiculaire au bleu et qui, malgré ça, n'est pas perpendiculaire au tableau.
Donc, il faut que je rajoute comme condition que le vecteur orange, qui doit être perpendiculaire au plan, doit être perpendiculaire à deux vecteurs de ce plan, le noir et le bleu, et ces deux vecteurs là, ils doivent être non collinaires.
Donc, pour que \(GF\), la droite, soit perpendiculaire au plan \(ABE\), c'est-à-dire le plan qui nous fait face ici, il faut que \(GF\), le vecteur, soit perpendiculaire à deux vecteurs du plan qui sont eux-mêmes non collinaires.
Application pratique
Donc, moi je prends comme vecteur par exemple \(AB\) et \(AE\). Vu que je suis dans un carré, je n'ai pas besoin de démontrer que \(AB\) et \(AE\) ne sont pas collinaires. Si ce n'était pas clair, je n'hésiterais pas à le démontrer en utilisant la technologie que l'on a, qui consiste à vérifier si les coordonnées sont proportionnelles. Là, je sais que \(AB\) et \(AE\) sont non collinaires.
Donc, j'ai avec le vecteur \(AB\) et \(AE\) qui sont non collinaires. Donc, sur la première hypothèse qui est vérifiée. Maintenant, je vais montrer que \(GF\) est perpendiculaire à \(AB\) et que \(GF\) est perpendiculaire à \(AE\).
Comment est-ce que je fais ça ? Soit je le fais avec les coordonnées, soit dans ce cas là, je n'ai pas besoin parce que j'ai dit que \(GF\) c'est la même chose que \(CB\). Or \(CB\) est perpendiculaire à \(AB\) vu que je suis sur un cube à base carrée. Donc, \(GF\), qui est parallèle à \(CB\), est perpendiculaire à \(AB\).
D'autre part, \(GF\) c'est la même chose que \(HE\). Les deux sont collinaires. \(HE\) est perpendiculaire à \(AE\). Donc, \(GF\) est perpendiculaire à \(AB\) et à \(AE\) qui sont des vecteurs du plan \(ABE\) qui ne sont pas collinaires vu qu'ils sont perpendiculaires, c'est un carré.
Donc, \(GF\) est bien perpendiculaire au plan. On vous a mis des petits exercices en dessous avec les différents contextes dans lesquels vous pouvez retrouver cet exercice. Faites-les, ça sert essentiellement pour le chapitre qui vient, c'est-à-dire les représentations paramétriques. On va en avoir énormément besoin. À vous de jouer, vous êtes des champions !