Analyse du Contrôle de Mathématiques sur la Géométrie pour Première Technologique

Ce sujet de contrôle de mathématiques, destiné aux élèves de Première Technologique, porte sur le chapitre des activités géométriques. D'une durée d'1h30, il évalue la capacité des élèves à se représenter des objets dans l'espace, à interpréter des représentations en perspective cavalière et à utiliser les outils de la géométrie repérée en trois dimensions. Ce contrôle corrigé est un excellent support pour s'entraîner et réviser les notions fondamentales de la géométrie dans l'espace.

Exercice 1 : La console d'entrée d'un atelier de design

Cet exercice introductif aborde la perspective cavalière, une méthode de représentation d'objets en 3D sur une surface plane. L'énoncé présente une console en forme de pavé droit ABCDEFGH dont les dimensions réelles sont données : longueur AB = 120 cm, profondeur BC = 40 cm, hauteur AE = 80 cm.

Les questions visent à vérifier la compréhension des règles de cette perspective :

• Calcul de longueurs sur le dessin : Il est demandé de calculer les longueurs des segments sur la représentation en appliquant l'échelle (1/20 pour la face avant) et le coefficient de réduction pour les fuyantes (0,5). Par exemple, la longueur de [AB] sur le dessin sera \(120 \times \frac{1}{20} = 6\) cm, tandis que celle de [BC] sera \(40 \times \frac{1}{20} \times 0,5 = 1\) cm.
• Construction et propriétés : L'élève doit construire la représentation d'une tablette à mi-hauteur. Cela mobilise la connaissance des propriétés de la perspective cavalière, notamment la conservation des milieux et du parallélisme.
• Non-conservation des rapports : En comparant le rapport \(\frac{BC}{AB}\) dans la réalité et sur le dessin, l'exercice met en évidence que la perspective cavalière ne conserve généralement pas les proportions, sauf pour les lignes parallèles.
• Non-conservation des angles : La dernière question amène à expliquer pourquoi un angle de 90° dans la réalité (comme \(\widehat{ABC}\)) peut être représenté par un angle différent (ici 45°), soulignant que les angles ne sont pas conservés.

Exercice 2 : Le luminaire cubique d'un hall d'hôtel

Le deuxième exercice bascule vers la géométrie analytique dans l'espace. Le contexte est une armature cubique suspendue, dont la position est étudiée dans un repère orthonormal \((A; I, J, K)\) où l'unité est le décimètre.

Cet exercice permet d'évaluer les compétences suivantes :

• Détermination de coordonnées : L'élève doit d'abord trouver les coordonnées de plusieurs sommets du cube (`C`, `G`, `H`) et de points spécifiques comme `M`, milieu de l'arête `[EF]`, en utilisant la formule des coordonnées du milieu : \(M(\frac{x_E+x_F}{2}, \frac{y_E+y_F}{2}, \frac{z_E+z_F}{2})\).
• Calcul de distances : Une part importante de l'exercice consiste à calculer des longueurs de segments (la tige `[MN]`, les câbles de suspension `[LE]`). Ces calculs se font à l'aide de la formule de la norme d'un vecteur, équivalente à la distance entre deux points dans l'espace : \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\).
• Utilisation de la symétrie : Il est demandé de justifier l'égalité de certaines longueurs sans calcul, en s'appuyant sur les propriétés de symétrie du cube. Cela teste la vision géométrique de l'élève au-delà de la simple application de formules.
• Résolution de problème concret : La question finale est une mise en application directe, demandant de vérifier si la longueur totale de câble nécessaire est inférieure à celle disponible.

Exercice 3 : La cloison de verre d'une vitrine cubique

Cet dernier exercice, plus complexe, porte sur la section d'un solide par un plan. Il s'agit de déterminer la forme et les dimensions d'une cloison plane coupant un cube `ABCDEFGH`. Le plan est défini par le sommet `E` et les points `I` et `J`, milieux respectifs de `[AB]` et `[BC]`.

Les étapes de résolution sont les suivantes :

• Démonstration de parallélisme : La première question fait appel au théorème des milieux dans le triangle `ABC` pour prouver que les droites `(IJ)` et `(AC)` sont parallèles. Cette étape est cruciale pour la suite.
• Propriétés des plans parallèles : En utilisant le fait que les faces opposées d'un cube sont parallèles, on en déduit que l'intersection du plan `(EIJ)` avec la face supérieure `EFGH` est une droite parallèle à `(IJ)`, qui s'avère être la diagonale `(EG)`.
• Construction et nature de la section : L'élève doit construire la section plane, qui est admise comme étant le trapèze isocèle `EIJG`.
• Calculs de dimensions et d'aire : Il faut ensuite calculer les longueurs des bases `[IJ]` et `[EG]` et des côtés non parallèles `[EI]` et `[JG]` via la formule de distance. Le calcul de l'aire du trapèze (\("mathcal{A} = \frac{(B+b) \times h}{2}"\)) nécessite de déterminer préalablement sa hauteur.
• Représentation en vraie grandeur : La dernière question demande de dessiner la section à l'échelle, ce qui conclut l'étude géométrique de l'objet.