16. Déterminer l'aire d'un triangle dans l'espace

Introduction

Allez les amis, on est parti pour faire des calculs pour voir comment déterminer l'aire d'un triangle dans l'espace avec les coordonnées. On fait ça tout de suite. Pour calculer l'aire d'un triangle dans l'espace, la première question à se poser c'est : quelle est la nature du triangle ? Parce qu'on ne va pas du tout procéder de la même manière pour un triangle rectangle, un triangle équilatéral, un triangle isocèle, etc. Donc la première chose à faire quand vous avez les coordonnées, c'est une étude sur la nature du triangle. Cette étude, on a déjà vu comment la faire dans la compétence précédente.

Calcul des coordonnées et détermination de la nature du triangle

J'ai calculé les coordonnées des vecteurs AB, AC et BC. J'ai calculé les longueurs et je me rends compte avec joie que le triangle est isocèle. Pour un triangle isocèle, vous n'avez même pas besoin de vous prendre la tête à vous demander s'il est rectangle ou pas. Comment allons-nous procéder pour calculer l'aire ? Je vous rappelle que c'est ce que vous recherchez.

Calcul de l'aire du triangle isocèle

On dessine un triangle isocèle, c'est-à-dire avec deux côtés égaux. Je sais que mes deux côtés égaux sont \(\sqrt{32}\) et \(\sqrt{32}\). Je sais que le côté en face mesure 8. Plutôt que de calculer l'aire de ce rectangle, je vais plutôt calculer l'aire de ce rectangle-là qui a un côté de moitié, donc 4. Je vais utiliser Pythagore pour connaître la hauteur. Donc je sais que ma hauteur au carré plus 4 au carré, ça fait \(\sqrt{32}\) au carré, parce que ce triangle-là est rectangle et que du coup j'ai le droit d'utiliser Pythagore. Donc je sais que \(h^2\) vaut \(\sqrt{32}^2\), donc il vaut 32 - \(4^2\), donc - 16. 32 - 16 ça me fait 16, donc j'ai \(h^2\) qui vaut 16 et donc je sais que ma hauteur vaut 4. Donc pour avoir l'aire de ce triangle, j'utilise la formule de l'aire d'un triangle rectangle que vous connaissez par cœur. L'aire va être côté fois côté divisé par 2, donc on a \(4 \times 4 / 2\) soit une aire de 8. Et vu que mon triangle isocèle est composé de deux de ces rectangles, je vais prendre 8 et je vais le multiplier par deux. Donc l'aire totale du triangle que je recherche vaut 16. Si c'était un triangle avec trois côtés différents et rectangles, j'aurais utilisé juste la formule côté fois côté divisé par 2. Si c'est un triangle isocèle, je le divise en deux, je calcule l'aire d'un des petits triangles rectangles et je multiplie par 2 pour compter les deux côtés. On vous a mis des exercices en dessous, à vous de jouer. Ça tombe au contrôle, vous êtes des machines.