Analyse du sujet de géométrie pour Première Technologique

Ce contrôle de mathématiques de niveau Première Technologique se concentre sur le chapitre des activités géométriques. Il s'agit d'un sujet complet balayant la géométrie plane, la géométrie dans l'espace, les transformations et la géométrie analytique. La calculatrice étant interdite, l'accent est mis sur le raisonnement, la connaissance des propriétés géométriques et la capacité à effectuer des calculs simples. Ce type de sujet est excellent pour préparer les élèves aux épreuves du baccalauréat technologique.

Ce corrigé détaillé vous guidera à travers chaque exercice, en expliquant les méthodes et les concepts clés nécessaires pour réussir. Les mots-clés importants pour ce sujet sont : géométrie, perspective cavalière, sections de solides, pentagone régulier, rotations, symétries, cercle, tangente, coordonnées.

Exercice 1 : Le logo d'un salon de thé (Vrai ou Faux)

Cet exercice est un QCM de type Vrai/Faux avec justification. Il évalue la connaissance des propriétés fondamentales des polygones réguliers, des transformations du plan et de la perspective cavalière, à travers l'étude d'un logo en forme de pentagone régulier.

• Affirmation a : « Chaque angle intérieur du pentagone, comme \(\widehat{ABC}\), mesure 100°. » C'est faux. Pour un polygone régulier à \(n\) côtés, la mesure de chaque angle intérieur est donnée par la formule \(\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}\). Pour un pentagone (\(n=5\)), cela donne \(\frac{(5-2) \times 180^\circ}{5} = \frac{3 \times 180^\circ}{5} = 108^\circ\).
• Affirmation b : « En appliquant cinq fois de suite la rotation de centre O et d'angle 72°, on retrouve exactement le logo de départ. » C'est vrai. L'angle au centre d'un pentagone régulier est \(\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ\). Appliquer cinq fois cette rotation correspond à une rotation totale de \(5 \times 72^\circ = 360^\circ\), ce qui est une rotation complète ramenant la figure à sa position initiale.
• Affirmation c : « Le pentagone ABCDE possède exactement cinq axes de symétrie. » C'est vrai. Un polygone régulier à \(n\) côtés possède \(n\) axes de symétrie.
• Affirmation d : « Si le logo est dessiné sur la face avant d'un coffret représenté en perspective cavalière, le cercle est représenté par une ellipse. » C'est vrai. C'est une propriété fondamentale de la perspective cavalière : un cercle situé sur un plan non frontal (oblique par rapport à l'observateur) est représenté par une ellipse.
• Affirmation e : « Une frise obtenue en répétant un motif par translation ne peut jamais avoir d'axe de symétrie. » C'est faux. Un contre-exemple simple est une frise de rectangles. Elle possède un axe de symétrie horizontal.

Exercice 2 : Le vase coupé en biais

Cet exercice aborde la géométrie dans l'espace avec l'étude d'un cylindre de révolution sectionné par des plans. Il faut mobiliser ses connaissances sur les sections de solides et utiliser le théorème de Pythagore.

1. Section par un plan perpendiculaire à l'axe : La section d'un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe est un cercle. Le rayon du cylindre étant de 3 cm, le rayon de ce cercle est également de 3 cm.
2. Section par un plan oblique (l'ouverture) :
   • a. La nature de cette section est une ellipse.
   • b. La plus petite largeur de l'ellipse (son petit axe) correspond au diamètre du cylindre, car c'est la largeur maximale qui n'est pas affectée par l'inclinaison du plan. Sa longueur est donc \(2 \times 3 = 6\) cm.
   • c. La longueur du grand axe de l'ellipse est l'hypoténuse du triangle rectangle visible sur la "vue de face". Les côtés de l'angle droit de ce triangle sont le diamètre du cylindre (6 cm) et la différence de hauteur des génératrices (\(14 - 6 = 8\) cm). En utilisant le théorème de Pythagore, la longueur du grand axe est \(\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) cm.
3. Tracé de l'ouverture : L'exercice se termine par une construction géométrique. Il faut tracer un rectangle de dimensions 10 cm par 6 cm (les longueurs du grand et du petit axe), qui est le rectangle circonscrit à l'ellipse, puis esquisser l'ellipse à l'intérieur, tangente aux côtés du rectangle en leur milieu.

Exercice 3 : Le médaillon sur le coffret

Cet exercice approfondit la notion de perspective cavalière. Il s'agit de comprendre et d'appliquer ses règles et propriétés pour représenter un cercle inscrit dans un carré sur une face supérieure d'un cube.

1. Justification : En perspective cavalière, les milieux des segments sont conservés. Dans la réalité, le cercle est tangent au carré en ses quatre milieux. Par conséquent, l'image du cercle (l'ellipse) sera tangente à l'image du carré (le parallélogramme) aux milieux de ses côtés.
2. Construction : La courbe à tracer est une ellipse. Pour la construire, on place les quatre points de tangence (les milieux des côtés du parallélogramme) et quatre autres points situés sur les diagonales, comme indiqué dans l'énoncé, pour guider le tracé à main levée. Cela permet d'obtenir une esquisse précise de l'ellipse.

Exercice 4 : Le pictogramme à l'angle arrondi

Cet exercice est une question ouverte qui combine la géométrie analytique (repérage et coordonnées) et les propriétés des cercles et des tangentes. C'est un problème complet où il faut élaborer une stratégie pour trouver toutes les informations requises.

On cherche à déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(r\) de l'arc de cercle, puis à calculer la longueur totale du pictogramme.

• Trouver le centre et le rayon : La clé est d'utiliser la propriété fondamentale des tangentes à un cercle : le rayon au point de contact est perpendiculaire à la droite tangente.
  • La droite (AB) est la tangente en \(B(6, 0)\). C'est la droite d'équation \(y=0\). La perpendiculaire à cette droite passant par B est la droite verticale d'équation \(x=6\). Le centre \(\Omega\) se trouve donc sur cette droite.
  • Le support du segment vertical [CD] avec \(C(10, 4)\) est la droite d'équation \(x=10\). La perpendiculaire à cette droite passant par C est la droite horizontale d'équation \(y=4\). Le centre \(\Omega\) se trouve aussi sur cette droite.
  • Le centre \(\Omega\) est donc à l'intersection des droites \(x=6\) et \(y=4\). Ses coordonnées sont \(\Omega(6, 4)\).
  • Le rayon \(r\) est la distance de \(\Omega\) aux points de tangence B ou C. On calcule \(r = \Omega B = \sqrt{(6-6)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{16} = 4\). On vérifie avec C : \(r = \Omega C = \sqrt{(10-6)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{16} = 4\). Le rayon est donc de 4 cm.
• Calculer la longueur totale : Le tracé est composé du segment [AB], de l'arc de cercle BC et du segment [CD].
  • Longueur de AB : \(L_{AB} = 6\) cm.
  • Longueur de CD : \(L_{CD} = 10 - 4 = 6\) cm.
  • Longueur de l'arc BC : Les tangentes en B (horizontale) et C (verticale) sont perpendiculaires. L'angle au centre \(\widehat{B\Omega C}\) est donc un angle droit, soit \(\frac{\pi}{2}\) radians. La longueur de l'arc est \(L_{BC} = r \times \theta = 4 \times \frac{\pi}{2} = 2\pi\) cm.
  • Longueur totale du tracé : \(L = L_{AB} + L_{BC} + L_{CD} = 6 + 2\pi + 6 = 12 + 2\pi\) cm.