Ce document propose un sujet de contrôle corrigé de mathématiques pour les élèves de Première technologique, axé sur le chapitre des activités géométriques. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, cette évaluation teste des compétences fondamentales en géométrie plane à travers trois exercices contextualisés dans le monde du design. Vous y trouverez des applications concrètes des propriétés des polygones réguliers, des calculs d'aires et de périmètres, ainsi qu'une exploration des transformations géométriques classiques comme la translation et la rotation.

Exercice 1 : Le carnet de croquis d'une designer

Cet exercice est un questionnaire à réponses courtes visant à évaluer rapidement les connaissances de base sur les polygones réguliers et la géométrie élémentaire. Chaque question teste un savoir-faire précis :

• Question 1 : Calcul de l'angle au centre d'un hexagone régulier inscrit dans un cercle. La réponse s'obtient en divisant l'angle plein par le nombre de côtés : \(360° / 6 = 60°\).
• Question 2 : Détermination de l'angle intérieur d'un octogone régulier, en utilisant la formule générale \(\frac{(n-2) \times 180°}{n}\).
• Question 3 : Calcul du périmètre d'un pentagone régulier, une simple multiplication de la longueur d'un côté par 5.
• Question 4 : Connaissance du nombre d'axes de symétrie d'un polygone régulier, qui est égal à son nombre de côtés (ici, 10 pour un décagone).
• Question 5 : Identification d'un polygone régulier (l'hexagone) à partir de la mesure de ses angles intérieurs (120°).
• Question 6 : Application directe de la translation pour déterminer le nombre de motifs dans une frise.
• Question 7 : Compréhension que la plus grande diagonale d'un polygone régulier inscrit dans un cercle correspond au diamètre du cercle.
• Question 8 : Calcul de l'aire d'un carré connaissant sa diagonale \(d\), en utilisant la relation \(A = \frac{d^2}{2}\).

Exercice 2 : La rosace d'une vitrine

Ce deuxième exercice propose une étude de cas plus approfondie sur un hexagone régulier \(ABCDEF\) inscrit dans un cercle de rayon 4 cm. Il mobilise des compétences de raisonnement et de calcul plus complexes.

• Question 1 : Le calcul de l'angle au centre \(\angle AOB\) (60°) permet de déduire la nature du triangle \(OAB\). Avec deux côtés égaux au rayon (\(OA=OB=4\) cm) et un angle de 60°, le triangle est isocèle et donc équilatéral. La longueur \(AB\) est alors égale au rayon, soit 4 cm.
• Question 2 : Le périmètre de l'hexagone est une conséquence directe de la question précédente : \(6 \times AB = 24\) cm.
• Question 3 : Il est demandé de démontrer la valeur de la hauteur \(OH\) du triangle \(OAB\). En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle \(OAH\) (H étant le milieu de [AB]), on a \(OH^2 = OA^2 - AH^2 = 4^2 - 2^2 = 12\), d'où \(OH = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) cm.
• Question 4 : Le calcul de l'aire du triangle \(OAB\) (\(\frac{base \times hauteur}{2} = \frac{4 \times 2\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\) cm²) est ensuite utilisé pour trouver l'aire totale de l'hexagone, qui est six fois plus grande.
• Question 5 : La mesure de l'angle intérieur \(\angle ABC\) s'obtient en additionnant les angles de deux triangles équilatéraux adjacents (\(\angle OBA + \angle OBC = 60° + 60° = 120°\)).
• Question 6 : La dernière question aborde les transformations du plan. On identifie la rotation de centre O et d'angle 60° comme la transformation permettant de générer l'hexagone à partir du triangle \(OAB\), et la symétrie axiale comme celle qui permet de construire \(OAB\) à partir du motif minimal \(OAH\).

Exercice 3 : La bordure d'un foulard imprimé

Le dernier exercice est un problème concret de design textile, qui se modélise par une frise géométrique. Il s'agit d'analyser, construire et effectuer des calculs sur cette frise, mobilisant à la fois le théorème de Pythagore et les transformations géométriques.

• Analyse de la frise : Cette partie se concentre sur le motif élémentaire, un triangle rectangle \(T\). Il faut calculer son aire, son périmètre et la longueur de son hypoténuse (\(\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\) cm) grâce au théorème de Pythagore. On doit ensuite identifier les transformations qui structurent la frise : la translation de vecteur \(\vec{AB}\) pour passer d'un carré au suivant, et la rotation de centre O et d'angle 180° (ou symétrie centrale) pour positionner les triangles à l'intérieur d'un carré.
• Construction : Une partie pratique demande de construire sur une figure fournie les images du triangle \(T\) par des rotations successives de 90°, 180° et 270°, puis l'image du carré complet par translation.
• Calculs sur la frise : La dernière partie est une application numérique. On calcule l'aire totale colorée dans un carré (4 fois l'aire de \(T\)) et la fraction de la surface du carré qu'elle occupe (\(4/16 = 1/4\)). Enfin, on résout un problème à l'échelle : pour une bordure de 1 mètre, on calcule le nombre de carrés entiers (\(100 cm / 4 cm = 25\)) et l'aire totale imprimée (\(25 \times 4 cm^2 = 100 cm^2\)).

En résumé, ce sujet de maths est un excellent entraînement sur les fondamentaux de la géométrie plane : polygones, théorème de Pythagore, calculs d'aires et de longueurs, et transformations du plan (translation, rotation, symétrie).