Ce contrôle de mathématiques pour le niveau Première spécialité porte sur deux chapitres fondamentaux du programme : la trigonométrie et la dérivation locale. D'une durée indicative de 1h30, ce sujet est un excellent moyen de s'évaluer sur des compétences clés telles que la manipulation du cercle trigonométrique, la simplification d'expressions, l'interprétation graphique du nombre dérivé et le calcul de l'équation d'une tangente. Ce corrigé détaillé vous permettra de comprendre chaque étape de la résolution.

Ce sujet de maths aborde de manière progressive les notions, en commençant par des rappels de géométrie trigonométrique pour ensuite aborder la notion de dérivée sous ses aspects graphiques et formels.

Exercice 1 : Maîtrise du Cercle Trigonométrique (5 points)

Cet exercice d'introduction vise à évaluer la compréhension du cercle trigonométrique et les liens entre la géométrie et les valeurs de cosinus et sinus. On part d'un point \(M\) associé au réel \(\frac{\pi}{6}\).

• Question 1 : Placement du point \(M\) sur le cercle trigonométrique. Il s'agit de repérer l'angle de \(\frac{\pi}{6}\) radians, soit 30 degrés, dans le sens anti-horaire.
• Question 2 : Analyse de la nature du triangle \(OMJ\), où \(J\) est le point de coordonnées \((0, 1)\). On doit justifier que ce triangle est équilatéral en utilisant les propriétés des angles et des longueurs dans le cercle unité (\(OM=OJ=1\) et \(\angle MOJ = \frac{\pi}{3}\)).
• Question 3 : Déduction de la valeur de \(OH\), où \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur l'axe des ordonnées \((OJ)\). La distance \(OH\) correspond à la valeur de \(\sin(\frac{\pi}{6})\).
• Question 4 : Application du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle \(OMH\) pour calculer la distance \(MH\). Comme \(OM^2 = OH^2 + MH^2\), on peut isoler \(MH\).
• Question 5 : Déduction des valeurs exactes de \(\cos(\frac{\pi}{6})\) et \(\sin(\frac{\pi}{6})\) à partir des longueurs calculées précédemment (\(MH\) et \(OH\)).

Exercice 2 : Applications de la Trigonométrie (7 points)

Cet exercice se divise en deux parties, testant à la fois l'utilisation des formules fondamentales et la simplification d'expressions trigonométriques complexes.

Partie A

• Question 1 : Placement d'un point \(N\) associé à un réel \(\beta\) dont on connaît l'intervalle, \(\beta \in [\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}]\), et la valeur du sinus, \(\sin(\beta) = \frac{5}{8}\).
• Question 2 : Calcul de la valeur exacte de \(\cos(\beta)\) en utilisant l'identité trigonométrique fondamentale \(\cos^2(\beta) + \sin^2(\beta) = 1\). L'intervalle de \(\beta\) est crucial pour déterminer le signe du cosinus.

Partie B (Sans calculatrice)

Cette partie exige une parfaite connaissance des formules des angles associés et de la périodicité des fonctions sinus et cosinus.

• a. Simplifier l'expression \(A = \sin \frac{2\pi}{3} + \sin \frac{4\pi}{3} + \sin \frac{6\pi}{3} + \sin \frac{8\pi}{3}\) en ramenant chaque angle à un angle remarquable du premier quadrant.
• b. Simplifier l'expression littérale \(B(x) = \cos(\pi - x) + 4\sin(-x - \pi) - 5 \sin(\pi + x)\).
• c. Simplifier l'expression littérale \(C(x) = \cos(\pi + x) + 2\cos(-2\pi + x) + 3 \cos(3\pi + x)\).

Exercice 3 : Étude Graphique d'une Fonction et de ses Tangentes (5 points)

Cet exercice est centré sur l'interprétation graphique de la notion de dérivée. On travaille avec la courbe représentative \(\mathcal{C}\) d'une fonction \(f\) et ses tangentes.

• Question 1 : Lecture graphique simple des images \(f(1)\) et \(f(3)\) à partir des points donnés sur la courbe.
• Question 2 : Détermination graphique du nombre dérivé \(f'(1)\) et \(f'(3)\). Il faut se rappeler que le nombre dérivé en un point est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe en ce point.
• Question 3 :
  • a. Déterminer l'équation de la tangente \(\Delta\) à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse \(-2\), sachant que \(f'(-2) = -2\). On applique la formule \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).
  • b. Tracer cette tangente sur le graphique, en utilisant son équation ou un point et son coefficient directeur.

Exercice 4 : Retour à la Définition du Nombre Dérivé (3 points)

Ce dernier exercice est un retour aux sources de la dérivation, en utilisant la définition formelle du nombre dérivé via le taux d'accroissement.

• On considère la fonction \(g(x) = -2x^2 + 5x - 1\).
• La tâche consiste à calculer le taux d'accroissement de \(g\) entre \(2\) et \(2+h\), qui est \(\frac{g(2+h)-g(2)}{h}\).
• Ensuite, on doit calculer la limite de ce taux lorsque \(h\) tend vers \(0\).
• Si cette limite est un nombre réel fini, cela prouve que \(g\) est dérivable en \(2\), et la valeur de la limite est \(g'(2)\).