Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir la norme, la direction et le sens d'un vecteur pour pouvoir faire les petits exercices en dessous. On s'y met tout de suite.

Norme d'un vecteur

Un vecteur en mathĂ©matiques, c'est trois choses : une norme, une direction et un sens. La norme d'un vecteur, c'est un mot compliquĂ© pour dire que c'est sa longueur. Donc, dans un exercice oĂč on vous demande quelles sont les vecteurs qui ont la mĂȘme norme, vous devez comprendre quels sont les vecteurs qui ont la mĂȘme longueur. Un vecteur, c'est un trait et une flĂšche. Quand vous vous intĂ©ressez Ă  la longueur, vous regardez la longueur du trait. Donc, si parmi ces vecteurs, lesquels ont la mĂȘme norme, lesquels ont la mĂȘme longueur ? LĂ , j'ai Ă©videmment celui-ci et celui-ci. C'est facile de le voir parce qu'ils sont dans la mĂȘme direction, mais j'ai aussi celui-ci. Donc, les vecteurs qui partagent la mĂȘme norme dans ce cas ici, c'est tout simplement \( \vec{a} \) et \( \vec{b} \).

Direction d'un vecteur

On continue avec la direction. Il y a une difficultĂ© Ă  faire la diffĂ©rence entre la direction et le sens. La direction d'un vecteur, c'est la droite sur laquelle ce vecteur est. Donc, quand deux vecteurs ont la mĂȘme direction, ça veut dire qu'ils sont sur la mĂȘme droite, ça veut dire qu'ils sont parallĂšles. Prenons l'exemple de ce vecteur-lĂ  et de ce vecteur-lĂ , c'est assez Ă©vident de voir que ces deux vecteurs sont parallĂšles. On peut dire qu'ils ont la mĂȘme direction. Ces vecteurs-lĂ  et ces vecteurs-lĂ , ils sont aussi parallĂšles. Mais on se dit, mais ils sont quand mĂȘme bien Ă©loignĂ©s, est-ce que le fait qu'ils soient Ă©loignĂ©s, ça ne complique pas la question ? Non, parce que le dernier truc que vous devez savoir, c'est qu'un vecteur a une norme, une direction, un sens, mais ça n'a pas de position. Autrement dit, ce vecteur-lĂ , je peux le dĂ©placer oĂč je veux, il reste le mĂȘme. Si je prends \( \vec{a} \) et je le dĂ©place, ça reste \( \vec{a} \). Je pourrais trĂšs bien virtuellement dĂ©placer ce vecteur et le coller tout prĂšs de lĂ  pour me rendre compte qu'ils ont la mĂȘme direction. Du coup, les vecteurs qui ont la mĂȘme direction, c'est \( \vec{a} \), \( \vec{e} \) (donc je mets entre parenthĂšses pour faire un couple) et \( \vec{f} \), \( \vec{b} \). Vous voyez que ces vecteurs, on les a classĂ©s en couple de direction.

Sens d'un vecteur

Maintenant, le sens. Le sens, c'est dans une direction fixĂ©e, par exemple dans cette direction-lĂ  fixĂ©e, c'est-Ă -dire si je vais suivant cette droite-lĂ , est-ce que je vais plutĂŽt avoir tendance Ă  aller dans ce sens-lĂ  ou est-ce que j'aurais plutĂŽt tendance Ă  aller dans ce sens-lĂ  ? C'est dans cette dynamique-lĂ  qu'on peut dire qu'on se sert des mots direction et sens dans le mauvais sens. Parce que quand vous demandez Ă  un agent SNCF quelle direction prendre, il va vous dire "prenez la direction Nice", alors qu'en fait, ce n'est pas une direction vers Nice, c'est un sens. La direction, c'est la ligne qui va de Paris Ă  Nice ou de Toulouse Ă  Nice et le sens, c'est soit vers Nice, soit vers Paris ou Toulouse. Du coup, pour avoir le mĂȘme sens, il faut dĂ©jĂ  avoir la mĂȘme direction. Donc, les vecteurs qui ont le mĂȘme sens, on peut aller chercher que dans les couples qui ont la mĂȘme direction. Prenons ces deux vecteurs-lĂ , ils ont Ă©videmment la mĂȘme direction, mais est-ce qu'ils ont le mĂȘme sens ? Non, parce qu'on voit bien qu'il y en a un qui pointe vers ici et l'autre qui pointe vers lĂ . Ils ont la mĂȘme direction, mais ils n'ont pas le mĂȘme sens. Prenons ces deux vecteurs-lĂ  qui sont parallĂšles, est-ce qu'ils ont le mĂȘme sens ? Oui, ils ont le mĂȘme sens. Vous voyez que sur cette droite, la droite verticale, ils pointent tous les deux vers le haut. Donc, ils ont tous le mĂȘme sens. Donc, le couple \( \vec{a} \), \( \vec{e} \) est un couple qui a le mĂȘme sens. Enfin, le couple \( \vec{b} \), \( \vec{f} \) a le mĂȘme sens. Évidemment, \( \vec{b} \) et \( \vec{f} \) ont le mĂȘme sens, ils sont tous les deux sur cette droite diagonale et ils pointent tous les deux vers le bas. Donc, on a aussi \( \vec{b} \) et \( \vec{f} \).

Vecteurs Ă©gaux

Maintenant, regardez quelque chose. Les vecteurs \( \vec{a} \) et \( \vec{e} \), ils ont la mĂȘme norme, ils ont la mĂȘme direction et ils ont le mĂȘme sens. Qu'est-ce qu'on peut dire concernant ces vecteurs qui ont la mĂȘme norme, la mĂȘme direction et le mĂȘme sens ? Deux vecteurs qui ont ces trois caractĂ©ristiques sont en fait des vecteurs Ă©gaux. Donc, ce qu'on a le droit d'Ă©crire, c'est que le vecteur \( \vec{a} \) est Ă©gal au vecteur \( \vec{e} \), parce qu'en fait, mon vecteur \( \vec{a} \), si je le dĂ©place, je tombe exactement sur le vecteur \( \vec{e} \). C'est une introduction, on commence tranquille. Faites les exercices que je vous ai mis en dessous, ça va vous faire du bien pour la suite.