1. Norme, direction et sens d'un vecteur

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir la norme, la direction et le sens d'un vecteur pour pouvoir faire les petits exercices en dessous. On s'y met tout de suite.

Norme d'un vecteur

Un vecteur en mathématiques, c'est trois choses : une norme, une direction et un sens. La norme d'un vecteur, c'est un mot compliqué pour dire que c'est sa longueur. Donc, dans un exercice où on vous demande quelles sont les vecteurs qui ont la même norme, vous devez comprendre quels sont les vecteurs qui ont la même longueur. Un vecteur, c'est un trait et une flèche. Quand vous vous intéressez à la longueur, vous regardez la longueur du trait. Donc, si parmi ces vecteurs, lesquels ont la même norme, lesquels ont la même longueur ? Là, j'ai évidemment celui-ci et celui-ci. C'est facile de le voir parce qu'ils sont dans la même direction, mais j'ai aussi celui-ci. Donc, les vecteurs qui partagent la même norme dans ce cas ici, c'est tout simplement \( \vec{a} \) et \( \vec{b} \).

Direction d'un vecteur

On continue avec la direction. Il y a une difficulté à faire la différence entre la direction et le sens. La direction d'un vecteur, c'est la droite sur laquelle ce vecteur est. Donc, quand deux vecteurs ont la même direction, ça veut dire qu'ils sont sur la même droite, ça veut dire qu'ils sont parallèles. Prenons l'exemple de ce vecteur-là et de ce vecteur-là, c'est assez évident de voir que ces deux vecteurs sont parallèles. On peut dire qu'ils ont la même direction. Ces vecteurs-là et ces vecteurs-là, ils sont aussi parallèles. Mais on se dit, mais ils sont quand même bien éloignés, est-ce que le fait qu'ils soient éloignés, ça ne complique pas la question ? Non, parce que le dernier truc que vous devez savoir, c'est qu'un vecteur a une norme, une direction, un sens, mais ça n'a pas de position. Autrement dit, ce vecteur-là, je peux le déplacer où je veux, il reste le même. Si je prends \( \vec{a} \) et je le déplace, ça reste \( \vec{a} \). Je pourrais très bien virtuellement déplacer ce vecteur et le coller tout près de là pour me rendre compte qu'ils ont la même direction. Du coup, les vecteurs qui ont la même direction, c'est \( \vec{a} \), \( \vec{e} \) (donc je mets entre parenthèses pour faire un couple) et \( \vec{f} \), \( \vec{b} \). Vous voyez que ces vecteurs, on les a classés en couple de direction.

Sens d'un vecteur

Maintenant, le sens. Le sens, c'est dans une direction fixée, par exemple dans cette direction-là fixée, c'est-à-dire si je vais suivant cette droite-là, est-ce que je vais plutôt avoir tendance à aller dans ce sens-là ou est-ce que j'aurais plutôt tendance à aller dans ce sens-là ? C'est dans cette dynamique-là qu'on peut dire qu'on se sert des mots direction et sens dans le mauvais sens. Parce que quand vous demandez à un agent SNCF quelle direction prendre, il va vous dire "prenez la direction Nice", alors qu'en fait, ce n'est pas une direction vers Nice, c'est un sens. La direction, c'est la ligne qui va de Paris à Nice ou de Toulouse à Nice et le sens, c'est soit vers Nice, soit vers Paris ou Toulouse. Du coup, pour avoir le même sens, il faut déjà avoir la même direction. Donc, les vecteurs qui ont le même sens, on peut aller chercher que dans les couples qui ont la même direction. Prenons ces deux vecteurs-là, ils ont évidemment la même direction, mais est-ce qu'ils ont le même sens ? Non, parce qu'on voit bien qu'il y en a un qui pointe vers ici et l'autre qui pointe vers là. Ils ont la même direction, mais ils n'ont pas le même sens. Prenons ces deux vecteurs-là qui sont parallèles, est-ce qu'ils ont le même sens ? Oui, ils ont le même sens. Vous voyez que sur cette droite, la droite verticale, ils pointent tous les deux vers le haut. Donc, ils ont tous le même sens. Donc, le couple \( \vec{a} \), \( \vec{e} \) est un couple qui a le même sens. Enfin, le couple \( \vec{b} \), \( \vec{f} \) a le même sens. Évidemment, \( \vec{b} \) et \( \vec{f} \) ont le même sens, ils sont tous les deux sur cette droite diagonale et ils pointent tous les deux vers le bas. Donc, on a aussi \( \vec{b} \) et \( \vec{f} \).

Vecteurs égaux

Maintenant, regardez quelque chose. Les vecteurs \( \vec{a} \) et \( \vec{e} \), ils ont la même norme, ils ont la même direction et ils ont le même sens. Qu'est-ce qu'on peut dire concernant ces vecteurs qui ont la même norme, la même direction et le même sens ? Deux vecteurs qui ont ces trois caractéristiques sont en fait des vecteurs égaux. Donc, ce qu'on a le droit d'écrire, c'est que le vecteur \( \vec{a} \) est égal au vecteur \( \vec{e} \), parce qu'en fait, mon vecteur \( \vec{a} \), si je le déplace, je tombe exactement sur le vecteur \( \vec{e} \). C'est une introduction, on commence tranquille. Faites les exercices que je vous ai mis en dessous, ça va vous faire du bien pour la suite.