Contrôle Corrigé sur les Suites Arithmétiques et Géométriques - Terminale STI2D

Ce contrôle de mathématiques de niveau Terminale STI2D est dédié au chapitre des suites arithmétiques et géométriques. D'une durée d'une heure, ce sujet est un excellent moyen de réviser et de s'évaluer sur les notions fondamentales des suites numériques. Il se compose de trois exercices complets qui balayent l'ensemble du chapitre : reconnaissance des suites, calcul de termes, expression de la forme explicite, calcul de sommes et application à la résolution de problèmes, y compris une initiation à l'algorithmique avec Python. Ce document est idéal pour les élèves souhaitant préparer efficacement leurs évaluations et le baccalauréat STI2D.

Exercice 1 : Reconnaître et exprimer les suites

Ce premier exercice, noté sur 8 points, est divisé en deux parties et vise à tester les connaissances de base sur les suites.

• Partie A (Vrai ou Faux) : Cette section demande de valider ou d'infirmer quatre affirmations en justifiant la réponse. Les élèves doivent être capables de :
  • Vérifier si trois nombres sont des termes consécutifs d'une suite géométrique en calculant les rapports. Par exemple, pour 5, 15, 45, on vérifie si \( \frac{15}{5} = \frac{45}{15} \).
  • Vérifier si trois nombres sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique en calculant les différences. Pour 5, 15, 25, on vérifie si \( 15 - 5 = 25 - 15 \).
  • Calculer la moyenne géométrique de deux nombres \(a\) et \(b\), donnée par \( \sqrt{ab} \).
  • Distinguer une croissance linéaire (modélisée par une suite arithmétique) d'une croissance exponentielle (modélisée par une suite géométrique), comme une augmentation annuelle en pourcentage.
• Partie B (Application) : Les élèves travaillent sur deux suites définies :
  • Une suite arithmétique \((u_n)\) de premier terme \(u_0 = 7\) et de raison \(r = -3\). Il faut calculer les premiers termes et trouver sa forme explicite \(u_n = u_0 + nr\).
  • Une suite géométrique \((v_n)\) de premier terme \(v_0 = 800\) et de raison \(q = 1,5\). Il faut également trouver sa forme explicite \(v_n = v_0 \times q^n\) et calculer un terme de rang donné.
  Enfin, l'exercice se termine par le calcul de moyennes arithmétique et géométrique.

Exercice 2 : Calcul de sommes

Cet exercice de 6 points se concentre sur le calcul de la somme des termes de suites. En s'appuyant sur les suites de l'exercice précédent, \(u_n = 7 - 3n\) et \(v_n = 800 \times 1,5^n\), il est demandé de :

1. Calculer la somme \(S\) des 21 premiers termes de la suite arithmétique \((u_n)\), de \(u_0\) à \(u_{20}\). Cela implique d'utiliser la formule de la somme :$$ S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2} $$
2. Calculer la somme \(T\) des 6 premiers termes de la suite géométrique \((v_n)\), de \(v_0\) à \(v_5\). La formule à appliquer est :$$ S_n = \sum_{k=0}^{n} v_k = v_0 \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1-q} $$
3. Résoudre un problème de modélisation où une production quotidienne suit une progression arithmétique décroissante. Il faut déterminer à partir de quel jour le modèle n'est plus pertinent, ce qui revient à trouver le rang \(n\) pour lequel le terme de la suite devient négatif.

Exercice 3 : La somme des carrés en Python

Le dernier exercice, sur 6 points, aborde les suites sous un angle algorithmique. L'objectif est d'analyser un programme Python qui calcule la somme des carrés des \(n\) premiers entiers : \( \sum_{k=1}^{n} k^2 \).

• Il est demandé de comprendre le fonctionnement du code en traçant son exécution pour une valeur donnée (\(n=3\)).
• L'exercice interroge sur les concepts clés de l'algorithmique : la variable jouant le rôle d'accumulateur (qui stocke la somme progressive) et celle de compteur (qui parcourt les nombres).
• Une modification du programme est demandée pour calculer la somme des cubes.
• Enfin, il faut utiliser la formule explicite de la somme des carrés, \( \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \), la vérifier et l'appliquer. La dernière question demande de justifier pourquoi la suite des carrés \( (k^2) \) n'est pas une suite arithmétique.

En conclusion, ce sujet de contrôle pour Terminale STI2D est un excellent outil de révision sur les suites arithmétiques et géométriques, mêlant calculs, raisonnement, modélisation et algorithmique.