Introduction
Allez les amis, on est parti pour acquérir une compétence méga importante, celle qui consiste à trouver la droite perpendiculaire à une autre droite dont vous aurez donné l'équation, avec un nouveau point de passage. On se fait ça tout de suite, c'est très simple.
Comprendre l'exercice
Pour bien comprendre ce genre d'exercice, il faut se faire un schéma. On vous donne une droite, et c'est une droite qu'on représente comme on veut. Pour cette droite, on vous dit : "Ouais, c'est cool, j'ai son équation, mais moi je voudrais qu'on trouve l'équation d'une nouvelle droite qui passerait par un point, par exemple l'origine (le point de coordonnées \(0, 0\)), et qui soit perpendiculaire à cette droite". Donc, ma nouvelle droite, disons \(d'\), elle est perpendiculaire à ma droite \(d\), et son équation, trouvez-moi l'équation de \(d'\).
Comment trouver l'équation de la droite perpendiculaire
Alors, pour réfléchir, on se dit : "Bon, finalement, pour trouver l'équation d'une droite, j'ai deux options. Soit pour cette droite, j'ai un point de passage et un vecteur directeur, donc ça serait le vecteur directeur de \(d'\) et un point de passage, je pourrais trouver son équation. Soit j'ai un point de passage et j'ai un vecteur normal, mais il faut l'un ou l'autre, soit un vecteur directeur, soit un vecteur normal. Quand j'ai le vecteur directeur, je vais lire \(-b, a\) dont les coordonnées, quand j'ai le vecteur normal, je vais lire \(a, b\), on verra après. Sauf que là, à priori, je n'ai rien, sauf que, regardez, votre droite \(d\), son vecteur directeur, ou en tout cas un vecteur directeur, est-ce qu'on n'aurait pas moyen de l'avoir ? Et bien sûr qu'on aurait moyen de l'avoir. Le vecteur directeur, je vous rappelle que pour le trouver, on utilise les coordonnées \(-b, a\). Donc le vecteur directeur de \(d\), ses coordonnées, c'est \(-b, a\), donc \(-2, 3\). Donc le vecteur direct de \(d\), c'est le vecteur normal de \(d'\). C'est ça qui est intéressant. Ce vecteur-là, en fait, c'est le vecteur normal de \(d'\). Et vu que c'est le vecteur normal de \(d'\), si \(d'\) vous l'écrivez sous la forme \(ax + by + c = 0\), et bien le \(a\) et le \(b\), vous allez les lire directement ici, \(2\) et \(3\). Donc c'est \(2x + 3y + c = 0\), et là, il ne vous reste plus qu'à appliquer les coordonnées du point de passage. Le point de passage a pour coordonnées \(0, 0\). Donc \(2 \times 0 + 3 \times 0 + c = 0\), donc \(c = 0\). Donc l'équation, c'est juste \(2x + 3y = 0\).
Voilà, on vous donne une droite, on vous dit : "Je voudrais l'équation d'une droite qui soit perpendiculaire à cette droite, mais qui passe par l'origine". On appelle cette nouvelle droite \(d'\). Je vous rappelle que pour donner l'équation d'une droite, il vous faut soit un vecteur normal, soit un vecteur directeur. Dans ce cas-là, on se rend compte que le vecteur normal de \(d'\) c'est le vecteur directeur de \(d\). Donc, il ne reste plus qu'à trouver les coordonnées du vecteur directeur. Le vecteur directeur est donné par \(-b, a\). Donc je prends \(-b\) qui vaut \(-2\) et \(a\) qui vaut \(3\). Donc les coordonnées du vecteur directeur de \(d\) sont \(-2, 3\). Or, ce vecteur est le même que le vecteur normal de \(d'\), puisqu'elles sont perpendiculaires. Donc, mon vecteur normal a pour coordonnées \(2, 3\). Donc, je sais que si j'écris l'équation de \(d'\) sous la forme \(ax + by + c = 0\), ce que je vais avoir ici pour \(a\) et \(b\), ça va être directement \(2\) et \(3\). Comment je fais pour trouver \(c\) ? Je remplace \(x\) et \(y\) par les coordonnées de mon point de passage, \(0, 0\), donc je trouve que \(c = 0\). Donc, mon équation finale est \(2x + 3y = 0\).
Voilà, c'est un plaisir de faire des mathématiques. On vous a mis des petits exercices en dessous pour vous entraîner. Il y aura ça, il y aura des trucs plus simples et il y en a des trucs plus durs. Allez jouer, vous êtes des champions.