Analyse Complète du Contrôle de Mathématiques sur les Suites - Niveau Première STI2D

Obtenez une analyse détaillée et le corrigé de ce contrôle de mathématiques de niveau Première STI2D, axé sur les chapitres des suites arithmétiques et géométriques. Ce sujet complet est idéal pour s'entraîner et maîtriser les concepts clés, de la reconnaissance des suites à leur application dans des problèmes concrets et l'algorithmique. Chaque exercice est décortiqué pour vous aider à comprendre les compétences évaluées et à préparer efficacement vos examens.

Exercice 1 : Deux suites, deux formules

Cet exercice fondamental teste la maîtrise des définitions et des formules de base des suites arithmétiques et géométriques. Il sert de fondation pour le reste du contrôle.

• Suite arithmétique \((u_n)\) : On vous donne la raison \(r=4\) et un terme de rang 3, \(u(3)=17\). La première question consiste à retrouver le premier terme \(u(0)\) en utilisant la formule \(u(n) = u(p) + (n-p)r\), puis à établir la forme explicite de la suite : \(u(n) = u(0) + n \times r\).
• Calcul et résolution : Vous devrez ensuite calculer un terme de rang élevé, \(u(20)\), et résoudre l'équation \(u(n) = 101\) pour déterminer le rang auquel la suite atteint cette valeur.
• Suite géométrique \((v_n)\) : Avec la raison \(q=2\) et le premier terme \(v(0)=5\), il faut donner la forme explicite \(v(n) = v(0) \times q^n\) et calculer le terme \(v(10)\).
• Inéquation et seuil : La dernière question fait appel à la calculatrice pour trouver le plus petit entier \(n\) tel que \(v(n) > 10000\), une compétence pratique pour résoudre des problèmes de seuil.

Exercice 2 : La valeur d'une machine

Cet exercice de modélisation applique les suites géométriques à un problème concret de dépréciation financière. Une excellente façon de voir l'utilité des mathématiques dans des situations du quotidien !

• Modélisation : Il faut d'abord justifier que diminuer une valeur de 18% revient à la multiplier par 0,82. C'est le point de départ pour identifier que la suite \(m(n)\) de la valeur de la machine est géométrique.
• Formules et variations : Les questions suivantes portent sur le calcul des premiers termes, la détermination de la forme explicite de \(m(n)\) et l'étude de son sens de variation (décroissante, car sa raison est comprise entre 0 et 1).
• Application et algorithmique : On calcule la valeur de la machine après 5 ans. Le point culminant de l'exercice est la partie algorithmique, où il faut compléter un programme Python avec une boucle while pour déterminer au bout de combien d'années la valeur de la machine passera sous un seuil de 10 000 €. Cela illustre comment les algorithmes peuvent résoudre des problèmes de suites.

Exercice 3 : Deux propositions de salaire

Un autre problème de modélisation qui met en opposition une croissance linéaire (suite arithmétique) et une croissance exponentielle (suite géométrique). L'objectif est de les comparer pour prendre une décision éclairée.

• Reconnaissance et modélisation : À partir de deux propositions d'augmentation de salaire (une augmentation fixe de 60 € et une augmentation en pourcentage de 3%), il faut reconnaître une suite arithmétique (Proposition A) et une suite géométrique (Proposition B).
• Formes explicites : Vous devez exprimer les deux salaires \(a(n)\) et \(b(n)\) en fonction du nombre d'années \(n\), ce qui revient à trouver la forme explicite de chaque suite.
• Comparaison : L'exercice demande de comparer les deux salaires au bout de 10 ans, puis d'utiliser la calculatrice pour déterminer l'année à partir de laquelle la proposition B (géométrique) devient plus avantageuse.
• Comportement à long terme : La dernière question est une question de réflexion qui vise à expliquer pourquoi une croissance géométrique avec une raison supérieure à 1 finit toujours par dépasser une croissance arithmétique, touchant au concept de limite et de comparaison de suites.

Exercice 4 : Lecture d'un tableur

Ce dernier exercice évalue la capacité à analyser des données et à faire des conjectures. Il s'appuie sur un outil numérique courant, le tableur.

• Conjecture : À partir d'un tableau de valeurs, il faut calculer les quotients de termes consécutifs pour conjecturer que la suite est géométrique et trouver sa raison.
• Formule de tableur : Une question classique qui demande de retrouver la formule récurrente entrée dans une cellule (par exemple =B2*0.85) pour générer la suite.
• Vrai ou Faux et Limite : La question finale "Comme ses termes diminuent, la suite finira par devenir négative" est un piège qui teste la compréhension de la limite d'une suite géométrique. Il faut justifier que, pour une suite géométrique à termes positifs et de raison positive, tous les termes resteront positifs et tendront vers 0 sans jamais l'atteindre ou devenir négatifs.

Ce sujet de contrôle pour Première STI2D est un excellent outil de révision sur les suites. Les exercices corrigés permettent de travailler la reconnaissance, le calcul de termes, l'établissement de formules explicites, la modélisation de problèmes concrets, l'algorithmique et l'analyse de comportement à long terme des suites arithmétiques et géométriques.