Exercice 1 : Une station de recharge

Cet exercice d'introduction aux variables aléatoires discrètes se base sur un cas concret : la gestion des bornes de recharge pour véhicules électriques. On étudie la variable aléatoire \(X\) qui représente le nombre de bornes libres parmi 4. La loi de probabilité de \(X\) est fournie dans un tableau.

• La première question consiste à vérifier que le tableau représente bien une loi de probabilité. Pour cela, il faut s'assurer que la somme de toutes les probabilités \(P(X = x_i)\) est égale à 1. C'est une vérification fondamentale pour valider le modèle.
• Ensuite, l'exercice demande de calculer des probabilités d'événements et de les interpréter. Par exemple, calculer \(P(X \ge 2)\), ce qui correspond à la probabilité qu'au moins deux bornes soient libres. Il s'agit d'additionner \(P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)\). De même, le calcul de \(P(X \le 1)\) représente la probabilité qu'un automobiliste arrivant trouve au plus une borne libre, un événement peu souhaitable.
• Le calcul et l'interprétation de l'espérance mathématique \(E(X)\) sont au cœur de l'exercice. L'espérance représente la valeur moyenne du nombre de bornes libres que l'on peut espérer sur un grand nombre d'observations. Elle se calcule avec la formule \(E(X) = \sum x_i P(X=x_i)\).
• La dernière partie introduit une nouvelle variable aléatoire \(G\), représentant la recette horaire. Comme chaque borne occupée rapporte 3€, et qu'il y a \(4-X\) bornes occupées, on doit d'abord justifier la relation linéaire \(G = 3(4-X) = 12 - 3X\). C'est un excellent exemple de transformation affine d'une variable aléatoire.
• Finalement, il faut calculer l'espérance de cette nouvelle variable, \(E(G)\). En utilisant la propriété de linéarité de l'espérance, on trouve facilement \(E(G) = E(12 - 3X) = 12 - 3E(X)\). Cela permet de calculer la recette horaire moyenne espérée par l'exploitant.

Exercice 2 : Vélos en libre-service

Cet exercice aborde la loi binomiale à travers l'exemple de la disponibilité de vélos en libre-service dans trois stations. La probabilité qu'un vélo soit disponible dans une station est de 0,7, et les stations sont indépendantes.

• La première étape est d'identifier l'épreuve de base : pour une station donnée, le vélo est disponible (succès) ou non (échec). Il faut justifier que la variable aléatoire associée à cette épreuve suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p=0,7\) et donner son espérance.
• Pour modéliser la situation des trois stations, on demande de construire un arbre de probabilités. C'est un outil visuel très efficace pour comprendre la répétition d'épreuves indépendantes.
• On s'intéresse ensuite à la variable aléatoire \(Y\) comptant le nombre total de stations où un vélo est disponible. Il s'agit de reconnaître que \(Y\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\) avec \(n=3\) et \(p=0,7\).
• Le sujet guide le calcul des probabilités : \(P(Y=0)\) (aucun vélo disponible) et \(P(Y=3)\) (un vélo disponible dans chaque station). Il demande également de vérifier par le calcul que \(P(Y=2) = 0,441\), en utilisant la formule de la loi binomiale : \(P(Y=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\).
• Une fois ces probabilités calculées, on en déduit la dernière, \(P(Y=1)\), en utilisant le fait que la somme des probabilités doit valoir 1. L'élève peut alors dresser le tableau de la loi de probabilité de \(Y\).
• Enfin, l'exercice se conclut par le calcul de l'espérance de la variable binomiale \(Y\), \(E(Y)\), et son interprétation. Le calcul peut se faire directement avec la formule \(E(Y) = n \times p\), ce qui donne le nombre moyen de stations avec un vélo disponible.

Exercice 3 : Combien de vélos hors service ?

Ce troisième exercice est une application concrète des statistiques et de l'échantillonnage. Il s'agit de confronter un modèle théorique (30% des vélos sont hors service, donc \(p=0,3\)) à des observations réelles.

• Le contexte est une simulation de 500 échantillons de 40 vélos. On observe la répartition des fréquences de vélos hors service grâce à un histogramme. L'écart-type \(s\) de cette série de fréquences est donné.
• La première question porte sur le calcul d'un intervalle de fluctuation, ici défini comme \(]p - 2s ; p + 2s[\). Cet intervalle contient, en théorie, environ 95% des fréquences observées si l'hypothèse \(p=0,3\) est correcte.
• Il est ensuite demandé d'utiliser l'histogramme pour estimer le nombre d'échantillons dont la fréquence est en dehors de cet intervalle, et de vérifier si la proportion correspond bien aux 5% attendus.
• La suite de l'exercice est un cas de prise de décision. Un contrôleur observe une fréquence de 9 vélos hors service sur 40. On calcule cette fréquence \(f = 9/40 = 0,225\) et on la compare à \(p\). L'écart \(|f-p|\) est ensuite mesuré en nombre d'écarts-types \(s\). Si l'observation se situe dans l'intervalle de fluctuation, elle est considérée comme "fréquente" et ne remet pas en cause l'hypothèse initiale.
• Un second scénario est proposé avec 23 vélos hors service sur 40. La fréquence observée est alors de \(f' = 23/40 = 0,575\). En réalisant la même analyse, on constate que cette valeur est très éloignée de \(p\) et se situe bien en dehors de l'intervalle de fluctuation. Cette observation est donc "rare" et suggère que l'affirmation initiale (30% de vélos hors service) est probablement fausse.

Exercice 4 : Vrai ou faux ?

Cet dernier exercice est un QCM de type Vrai/Faux, qui vise à vérifier la compréhension de concepts théoriques clés sur les variables aléatoires.

• Affirmation 1 : L'espérance est-elle toujours une valeur possible de la variable aléatoire ? La réponse est fausse. Par exemple, l'espérance d'un lancer de dé est 3,5, ce qui n'est pas une face du dé.
• Affirmation 2 : La propriété de linéarité de l'espérance \(E(aX+b) = aE(X)+b\) est-elle correcte ? La réponse est vraie. C'est une propriété fondamentale du cours, appliquée dans l'exercice 1.
• Affirmation 3 : Plus la taille de l'échantillon \(n\) est grande, plus les fréquences observées se dispersent autour de la probabilité \(p\). La réponse est fausse. C'est le contraire : la loi des grands nombres stipule que les fréquences observées se concentrent de plus en plus près de la probabilité théorique \(p\) lorsque la taille de l'échantillon augmente.

En résumé, ce sujet de contrôle pour Première STI2D est très complet et couvre les aspects essentiels du chapitre sur les variables aléatoires : définition d'une loi de probabilité, calcul de l'espérance et son interprétation, étude de la loi de Bernoulli et de la loi binomiale, et enfin une introduction à la notion d'intervalle de fluctuation et à la prise de décision statistique.