Découvrez un sujet de contrôle complet sur le chapitre des variables aléatoires, spécialement conçu pour les élèves de Première STI2D. Ce sujet, centré sur une situation concrète de tombola, permet de balayer l'ensemble des compétences clés du chapitre : définition d'une loi de probabilité, calcul et interprétation de l'espérance, transformation de variables aléatoires et introduction à la notion de fluctuation d'échantillonnage.

Ce contrôle corrigé est un excellent outil de révision pour se préparer efficacement à une évaluation. Il met l'accent sur la compréhension des concepts et leur application dans un problème contextualisé. La calculatrice étant interdite, ce sujet de maths teste également les capacités en calcul mental et posé.

Partie A : La loi de la variable aléatoire \(X\)

La première partie du problème introduit une variable aléatoire \(X\) qui représente le montant du lot obtenu en achetant un ticket de tombola. L'objectif est de définir complètement la loi de probabilité de \(X\).

• Question 1 : Il s'agit d'un calcul simple pour déterminer le nombre de tickets qui ne rapportent rien, en soustrayant le nombre de tickets gagnants du nombre total de tickets. C'est une première étape pour s'assurer de la bonne compréhension de l'énoncé.
• Question 2 : Cette question demande d'identifier l'univers image de la variable aléatoire \(X\), c'est-à-dire toutes les valeurs possibles que peut prendre le gain : 0 €, 5 €, 20 € et 100 €.
• Question 3 : C'est le cœur de cette partie. L'élève doit dresser la loi de probabilité de \(X\) dans un tableau. Pour chaque valeur \(x_i\) de \(X\), il faut calculer la probabilité associée \(P(X=x_i)\) en utilisant la formule d'équiprobabilité (nombre de tickets correspondants / nombre total de tickets). Les résultats doivent être donnés en écriture décimale.
• Question 4 : Une vérification classique mais essentielle : s'assurer que la somme des probabilités calculées est bien égale à 1. C'est une propriété fondamentale de toute loi de probabilité. \(\sum P(X=x_i) = 1\).
• Question 5 : On demande ici de calculer la probabilité d'un événement, \(P(X \ge 20)\), ce qui se fait en additionnant les probabilités des événements élémentaires concernés (\(P(X=20) + P(X=100)\)). L'interprétation en une phrase permet de vérifier que l'élève donne du sens au résultat numérique.
• Question 6 : Le calcul de l'espérance mathématique \(E(X)\) est un attendu majeur du chapitre. L'élève doit appliquer la formule \(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i)\). L'espérance représente le gain moyen que l'on peut espérer par ticket sur un très grand nombre de tirages.

Partie B : Le point de vue du joueur et celui du club

Cette deuxième partie change de perspective en introduisant une nouvelle variable aléatoire, \(B\), le bénéfice du joueur. Elle explore la notion de jeu équitable et les propriétés de l'espérance.

• Question 1 : Il faut ici exprimer la nouvelle variable \(B\) en fonction de \(X\). Le bénéfice étant la différence entre le lot obtenu et le prix du ticket, on a la relation simple \(B = X - 3\). C'est un exemple de transformation affine d'une variable aléatoire.
• Question 2 : Cette question teste la connaissance de la propriété de linéarité de l'espérance. Sans avoir à recalculer toute la loi de \(B\), on peut directement trouver \(E(B)\) à partir de \(E(X)\) grâce à la formule \(E(aX+b) = aE(X)+b\). Ici, \(E(B) = E(X-3) = E(X) - 3\).
• Question 3 : Comme pour \(E(X)\), il s'agit d'interpréter la valeur de l'espérance \(E(B)\). Un \(E(B)\) négatif signifie qu'en moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur perd de l'argent.
• Question 4 : La notion de jeu équitable est abordée. Un jeu est équitable si l'espérance du bénéfice est nulle, \(E(B)=0\). L'élève doit utiliser le résultat précédent pour justifier si la tombola est équitable, avantageuse pour le joueur (\(E(B)>0\)) ou désavantageuse (\(E(B)<0\)).
• Question 5 : En se basant sur la définition d'un jeu équitable, on demande de trouver quel devrait être le prix du ticket pour que \(E(B)=0\). Cela revient à résoudre l'équation \(E(X) - \text{prix} = 0\).
• Question 6 : La dernière question prend le point de vue de l'organisateur. Il faut calculer le bénéfice total du club si tous les tickets sont vendus, puis relier ce bénéfice global à l'espérance du bénéfice individuel \(E(B)\). On montre ainsi que le bénéfice total du club est égal à \(-N \times E(B)\), où \(N\) est le nombre total de tickets.

Partie C : Combien de tickets gagnants ?

La dernière partie s'oriente vers les statistiques et la fluctuation d'échantillonnage, en comparant la proportion théorique de tickets gagnants avec les fréquences observées sur des échantillons.

• Question 1 : Un calcul de proportion simple pour établir la probabilité théorique \(p\) qu'un ticket soit gagnant.
• Question 2 : On passe de la théorie à la pratique en calculant une fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de 80 tickets.
• Question 3 & 4 : Ces questions introduisent la notion d'intervalle de fluctuation. À partir d'une simulation fournissant un écart-type \(s\), on calcule un intervalle centré sur la proportion théorique \(p\). On vérifie ensuite si la fréquence observée à la question 2 se situe dans cet intervalle pour déterminer si l'observation est 'normale' ou 'rare'.
• Question 5 : Un autre cas pratique est étudié, celui d'un échantillon sans aucun ticket gagnant. L'élève doit calculer la nouvelle fréquence, puis l'écart à la proportion théorique pour évaluer à quel point cette situation est exceptionnelle.
• Question 6 : Cette question de synthèse vise à corriger une erreur de raisonnement fréquente : confondre probabilité et certitude. En s'appuyant sur l'exemple de la question 5, l'élève doit expliquer pourquoi un événement, même avec une probabilité non nulle (ici, avoir au moins un gagnant), n'est jamais certain.