Ce contrôle de mathématiques corrigé pour le niveau Première STI2D est dédié aux chapitres de la trigonométrie et des fonctions trigonométriques. D'une durée d'une heure et trente minutes, ce sujet balaye les compétences essentielles liées au cercle trigonométrique, à la résolution d'équations et d'inéquations, ainsi qu'à la modélisation d'un phénomène périodique à l'aide d'une fonction cosinus. C'est un excellent outil de révision pour les élèves souhaitant s'évaluer sur ces notions fondamentales.

Exercice 1 : Repérage sur le cercle trigonométrique

Cet exercice de base vise à vérifier la maîtrise des fondamentaux du cercle trigonométrique. Les élèves doivent démontrer leur capacité à naviguer entre les différentes représentations des angles et à les positionner correctement.

• Question 1 : Conversion entre degrés et radians. Il est demandé de convertir \(135^\circ\) et \(300^\circ\) en radians, et inversement, de convertir l'angle \(\frac{7\pi}{6}\) radians en degrés.
• Question 2 : Placement de points sur le cercle trigonométrique. Les élèves doivent placer les points associés aux angles remarquables \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{3\pi}{4}\), \(\frac{2\pi}{3}\) et \(\frac{11\pi}{6}\).
• Question 3 : Détermination de la mesure principale d'un angle. Il s'agit de trouver la mesure dans l'intervalle \(]-\pi; \pi]\) pour les angles \(\frac{17\pi}{4}\) et \(-\frac{25\pi}{6}\).
• Question 4 : Équivalence de points sur le cercle. La question teste la compréhension de la périodicité \(2\pi\) en demandant si les réels \(-\frac{11\pi}{3}\) et \(\frac{\pi}{3}\) correspondent au même point sur le cercle.

Exercice 2 : Angles associés et équations

La deuxième partie du contrôle se concentre sur l'utilisation des angles associés et la résolution d'équations trigonométriques simples, des compétences cruciales pour l'analyse de fonctions.

• Question 1 : Calcul de valeurs exactes. Il faut donner les valeurs exactes de \(\cos(\frac{5\pi}{6})\), \(\sin(\frac{3\pi}{4})\), \(\cos(-\frac{\pi}{3})\) et \(\sin(\frac{7\pi}{6})\), ce qui implique l'utilisation des formules des angles associés.
• Question 2 : Application de la relation fondamentale. Étant donné \(\cos(x) = 0,8\) avec \(x \in [-\frac{\pi}{2}; 0]\), il est demandé de calculer \(\sin(x)\) en utilisant l'identité \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\).
• Question 3 et 4 : Résolution d'équations. Les élèves doivent résoudre, sur l'intervalle \(]-\pi; \pi]\), les équations de base \(\cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin(x) = \frac{1}{2}\), en s'aidant du cercle trigonométrique.

Exercice 3 : La grande roue

Cet exercice est un problème concret de modélisation, typique des applications des fonctions trigonométriques. La hauteur d'une nacelle de grande roue est modélisée par la fonction \(h(t) = 22 - 20 \cos(\frac{\pi t}{2})\).

• Questions 1 à 4 : Analyse de la fonction. Il s'agit d'interpréter le modèle en calculant la hauteur initiale \(h(0)\), la période de la fonction pour déterminer la durée d'un tour, la hauteur maximale atteinte, et une hauteur à un instant donné \(t=0.5\).
• Question 5 : Résolution d'équation dans le contexte. Les élèves doivent résoudre \(h(t) = 22\) sur l'intervalle \([0; 4]\), ce qui revient à résoudre l'équation \(\cos(\frac{\pi t}{2}) = 0\), et interpréter les solutions comme les instants où la nacelle est à mi-hauteur.
• Question 6 : Résolution d'inéquation. La question la plus complexe de l'exercice demande de déterminer la durée pendant laquelle un passager est à plus de 32 mètres de hauteur. Cela se traduit par la résolution de l'inéquation \(h(t) > 32\), soit \(\cos(\frac{\pi t}{2}) < -\frac{1}{2}\), sur un tour complet.

Exercice 4 : Vrai ou Faux

Ce dernier exercice rapide teste la connaissance précise de propriétés des fonctions sinus et cosinus. Chaque affirmation doit être justifiée.

• Affirmation 1 : Teste la parité de la fonction sinus, à savoir si \(\sin(-x) = -\sin(x)\) est toujours vrai.
• Affirmation 2 : Concerne l'ensemble des valeurs de la fonction cosinus. L'affirmation "il existe un réel \(x\) tel que \(\cos(x) = 1,2\)" est-elle vraie ?
• Affirmation 3 : Porte sur le calcul de la période d'une fonction de la forme \(\cos(\omega t)\). Il faut vérifier si la période de \(t \mapsto 3\cos(4t)\) est bien \(\frac{\pi}{2}\).