Découvrez notre sujet de contrôle corrigé de mathématiques pour la classe de Première STI2D, entièrement dédié au chapitre sur le produit scalaire. Ce devoir d'une heure et demie, avec calculatrice autorisée, est un excellent outil de révision pour maîtriser les concepts clés et les applications géométriques du produit scalaire. Il est structuré en quatre exercices complets qui balayent l'ensemble du programme : calculs de base, détermination d'angles, propriétés des triangles et des quadrilatères, et application de théorèmes fondamentaux.

Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas dans la résolution de chaque question, en mettant l'accent sur la méthode et la justification des réponses. C'est une ressource idéale pour préparer efficacement vos évaluations et consolider vos acquis sur le produit scalaire en géométrie plane.

Exercice 1 : Produit scalaire et triangle rectangle (5 points)

Cet exercice fondamental teste les compétences de base sur le produit scalaire dans un repère orthonormé. Il s'agit de manipuler les formules de calcul avec les coordonnées, de déterminer des normes de vecteurs, et d'utiliser le produit scalaire pour trouver des angles et démontrer des propriétés géométriques.

• Question 1 : Calcul du produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) et des normes \(||\vec{u}||\) et \(||\vec{v}||\) avec \(\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). On utilise la formule \( \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' \) et \( ||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2} \).
• Question 2 : Déduction de la mesure de l'angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) grâce à la formule \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\theta)\). Le signe du produit scalaire permet de déterminer si l'angle est aigu ou obtus.
• Question 3 : Calcul du produit scalaire de \(\vec{u}\) avec un troisième vecteur \(\vec{w}\) pour démontrer l'orthogonalité de deux vecteurs. Si le produit scalaire est nul, les vecteurs sont orthogonaux.
• Question 4 : Application de ces calculs à des points A, B, C pour étudier la nature du triangle ABC. On détermine d'abord les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\), puis on utilise leur produit scalaire pour prouver que le triangle est rectangle en A. Le calcul des longueurs AB et AC permet de préciser s'il est également isocèle.

Exercice 2 : Al-Kashi à l'envers (5 points)

L'exercice 2 se concentre sur l'application du théorème d'Al-Kashi (aussi appelé loi des cosinus), une généralisation du théorème de Pythagore qui est une conséquence directe des propriétés du produit scalaire.

• Question 1 : À partir des longueurs des trois côtés d'un triangle DEF, on utilise la formule d'Al-Kashi \(EF^2 = DE^2 + DF^2 - 2 \cdot DE \cdot DF \cdot \cos(\widehat{EDF})\) pour retrouver la valeur du cosinus de l'un de ses angles.
• Question 2 : Déduction d'une valeur approchée de l'angle à partir de la valeur de son cosinus.
• Question 3 : Calcul du produit scalaire \(\vec{DE} \cdot \vec{DF}\) en utilisant la formule avec le cosinus. Le signe du résultat confirme la nature (aiguë ou obtuse) de l'angle.
• Question 4 : Utilisation de l'égalité du parallélogramme (ou théorème de la médiane), une autre propriété importante liée au produit scalaire, pour calculer la longueur d'une médiane du triangle.

Exercice 3 : Contrôle d'une pièce usinée (7 points)

Cet exercice est un problème concret de géométrie analytique. L'objectif est de vérifier si une pièce à quatre sommets A, B, C, D est bien un carré en utilisant les outils du produit scalaire.

• Question 1 & 2 : On commence par calculer les coordonnées des vecteurs formés par les côtés. En montrant l'égalité de deux vecteurs opposés (par exemple \(\vec{AB} = \vec{DC}\)), on prouve que le quadrilatère est un parallélogramme.
• Question 3 : On calcule le produit scalaire de deux vecteurs consécutifs, par exemple \(\vec{AB} \cdot \vec{BC}\). Si le résultat est nul, on en déduit la présence d'un angle droit, ce qui signifie que le parallélogramme est un rectangle.
• Question 4 & 5 : On calcule ensuite les longueurs des côtés adjacents (normes des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{BC}\)). Si ces longueurs sont égales, le rectangle est alors un carré. C'est l'étape de conclusion sur la conformité de la pièce.
• Question 6 : Pour finir, on s'intéresse à l'angle formé par un côté et une diagonale. Le calcul du produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) permet de trouver la valeur de cet angle, qui doit être de 45° dans un carré.

Exercice 4 : Vrai ou faux ? (3 points)

Ce dernier exercice vise à évaluer la compréhension fine des définitions et propriétés du produit scalaire à travers trois affirmations à justifier.

• Affirmation 1 : Teste le cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz (\(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||\)), qui correspond au cas où les vecteurs sont colinéaires et de même sens.
• Affirmation 2 : Demande de vérifier une identité remarquable du produit scalaire : \((\vec{u}+\vec{v}) \cdot (\vec{u}-\vec{v}) = ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2\). La démonstration se fait par simple développement.
• Affirmation 3 : Met en garde contre une simplification abusive. L'égalité \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{w}\) n'implique pas \(\vec{v} = \vec{w}\), mais seulement que \(\vec{u}\) est orthogonal au vecteur \(\vec{v}-\vec{w}\). Un contre-exemple suffit à prouver que l'affirmation est fausse.