Sujet de Contrôle Corrigé de Mathématiques pour Terminale STI2D - Chapitre Fonction Inverse

Ce sujet de contrôle, destiné aux élèves de Terminale STI2D, est une évaluation complète sur le chapitre de la fonction inverse et ses applications. D'une durée de 1h30, ce devoir de maths couvre des compétences essentielles telles que l'étude de fonctions, la dérivation, la résolution d'équations, et la modélisation de problèmes concrets. Il est un excellent outil de révision pour les lycéens préparant le baccalauréat.

Exercice 1 : Questions Indépendantes sur les Fonctions

Cet exercice d'introduction balaye plusieurs compétences fondamentales liées à l'étude de fonctions impliquant la fonction inverse. Chaque question est indépendante et permet d'évaluer des savoir-faire précis.

• Question 1 : Étude des variations par dérivation. Il s'agit d'un QCM où il faut déterminer le sens de variation de la fonction \(f(x) = 3x - \frac{12}{x}\) sur l'intervalle \(]0; +\infty[\). Pour répondre correctement, une justification est demandée. L'élève doit calculer la dérivée \(f'(x)\), étudier son signe et en déduire le tableau de variations de \(f\). C'est une application directe des techniques de dérivation et de leur lien avec les variations d'une fonction.
• Question 2 : Manipulation algébrique et dérivation. On s'intéresse à la fonction \(g(x) = \frac{x^3 + 2}{x}\). La première partie consiste à réécrire l'expression de \(g(x)\) sous la forme d'une somme \(x^2 + \frac{2}{x}\), ce qui simplifie grandement le calcul de la dérivée. La deuxième partie demande de calculer cette dérivée, \(g'(x)\), en utilisant les formules de dérivation des fonctions puissance et inverse.
• Question 3 : Détermination de paramètres par lecture graphique. La courbe d'une fonction \(k(x) = ax + \frac{b}{x}\) est fournie. À partir des coordonnées de deux points de la courbe, \( (1; 7) \) et \( (2; 8) \), l'élève doit établir un système de deux équations linéaires à deux inconnues (\(a\) et \(b\)) puis le résoudre pour trouver les valeurs des paramètres. Cette question teste la capacité à lier représentation graphique et expression algébrique.
• Question 4 : Résolution d'équation. Pour la fonction \(m(x) = \frac{60}{x} + 4\), il est demandé de trouver la valeur de \(x\) pour laquelle \(m(x) = 9,5\). Cela se ramène à la résolution d'une équation simple impliquant la fonction inverse.

Exercice 2 : Problème de Modélisation - Coût d'une Pièce Imprimée en 3D

Cet exercice complet est un problème concret d'optimisation, typique de ce qui peut être rencontré en filière STI2D. Il s'agit de modéliser et d'analyser le coût de production de pièces en 3D pour minimiser le coût moyen.

Le coût total de production pour \(q\) pièces est donné par le polynôme du second degré \(C(q) = 0,5q^2 + 8q + 200\).

• Question 1 & 2 : Coût moyen. Après un calcul simple de coût total pour 10 pièces, l'élève doit établir l'expression du coût moyen, noté \(C_m(q)\), qui est le coût total divisé par le nombre de pièces \(q\). On obtient \(C_m(q) = 0,5q + 8 + \frac{200}{q}\), une fonction qui sera l'objet de l'étude.
• Question 3 : Étude complète de la fonction coût moyen. C'est le cœur de l'exercice. Il faut :
  • a. Calculer la dérivée \(C'_m(q)\).
  • b. Résoudre l'équation \(C'_m(q) = 0\). Cette étape mène à une équation du type \(q^2 = 400\), dont il faut trouver la solution positive.
  • c. Étudier le signe de la dérivée et dresser le tableau de variations complet de la fonction \(C_m\) sur l'intervalle \(]0; +\infty[\).
• Question 4 : Recherche d'un minimum. Grâce au tableau de variations, l'élève doit identifier la quantité de pièces à produire pour que le coût moyen soit minimal, et calculer ce coût minimal. C'est un problème classique d'optimisation.
• Question 5 & 6 : Application et interprétation. Un calcul de bénéfice est demandé pour une situation donnée. Enfin, la dernière question pousse à une analyse critique du modèle : l'affirmation "plus on produit, moins ça coûte cher" est-elle toujours vraie ? La justification doit s'appuyer sur le tableau de variations, qui montre que le coût moyen, après avoir atteint un minimum, se met à remonter.

Exercice 3 : Analyse Critique d'une Copie d'Élève

Ce dernier exercice évalue la capacité à analyser un raisonnement mathématique, à en déceler les erreurs et à le corriger. Il porte sur l'étude de la fonction \(u(x) = x + \frac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\).

• Contexte : Une copie d'élève est présentée. L'élève a correctement calculé la dérivée, trouvé les points où elle s'annule (\(x=1\) et \(x=-1\)), et calculé les valeurs de la fonction en ces points (\(u(1)=2\) et \(u(-1)=-2\)).
• L'erreur de raisonnement : L'élève en conclut, à tort, que la fonction admet un maximum global en 2 et un minimum global en -2, et donc que \( -2 \leq u(x) \leq 2 \) pour tout \(x\).
• Tâches :
  • Vérifier les calculs de l'élève (qui sont justes).
  • Montrer par un contre-exemple (en calculant \(u(3)\) par exemple) que la conclusion est fausse.
  • Expliquer précisément l'erreur : l'élève a confondu extremum local et extremum global, et a omis l'étude des limites aux bornes du domaine de définition.
  • Rédiger une conclusion correcte, qui précise que \(u\) admet un maximum local en \(x=-1\) et un minimum local en \(x=1\), mais pas de maximum ni de minimum global.