Contrôle Corrigé sur le Produit Scalaire - Première STI2D

Ce document est un sujet de contrôle de mathématiques destiné aux élèves de Première STI2D, centré sur le chapitre du produit scalaire. D'une durée d'une heure, il évalue la maîtrise des différentes facettes de cette notion géométrique essentielle, allant du calcul pur à ses applications concrètes en physique. Ce sujet est un excellent outil de révision, couvrant les définitions, les propriétés et les applications du produit scalaire. Les mots clés importants sont : contrôle corrigé, sujet de maths, Première STI2D, produit scalaire, coordonnées, théorème d'Al-Kashi, travail d'une force, vecteurs orthogonaux.

Exercice 1 : Produit scalaire en coordonnées (6 points)

Cet exercice se concentre sur la manipulation du produit scalaire dans un repère orthonormé `(O; \vec{i}, \vec{j})`. Il vise à vérifier la maîtrise des formules de base en géométrie analytique.

• Question 1 : Il s'agit de calculer le produit scalaire de deux vecteurs `\vec{u}` et `\vec{v}` donnés par leurs coordonnées `(3, -1)` et `(2, 4)` en utilisant la formule analytique `\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'`. On demande également de calculer leurs normes respectives, `\|\vec{u}\|` et `\|\vec{v}\|`, avec la formule `\sqrt{x^2 + y^2}`.
• Question 2 : À partir des résultats précédents, l'objectif est de déduire une mesure de l'angle `\theta` entre les deux vecteurs. Cela nécessite l'utilisation de la formule liant le produit scalaire aux normes et au cosinus de l'angle : `\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|}`.
• Question 3 : Cette question teste la condition d'orthogonalité. Il faut déterminer si les vecteurs `\vec{u}` et `\vec{w}` sont orthogonaux en calculant leur produit scalaire et en vérifiant s'il est égal à zéro.
• Question 4 : L'exercice se termine par une application de ces concepts à des points `A(1; 2)`, `B(4; 3)` et `C(2; 6)`. Il faut d'abord calculer les coordonnées des vecteurs `\vec{AB}` et `\vec{AC}`, puis leur produit scalaire et enfin en déduire une valeur de l'angle `\widehat{BAC}`.

Exercice 2 : Al-Kashi et parallélogramme (5 points)

Cet exercice aborde l'aspect purement géométrique du produit scalaire et son lien avec le théorème d'Al-Kashi (ou loi des cosinus) dans un triangle.

• Question 1 : On demande de calculer le produit scalaire `\vec{AB} \cdot \vec{AC}` dans un triangle `ABC` où les longueurs `AB`, `AC` et l'angle `\widehat{BAC}` sont connus, en utilisant la formule `\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta)`.
• Question 2 : Il s'agit d'une application directe du théorème d'Al-Kashi pour calculer la longueur du côté `BC`. La formule à utiliser est `BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \cdot AC \cos(\widehat{BAC})`.
• Question 3 : Cette question demande de réutiliser le théorème d'Al-Kashi pour déterminer un autre angle du triangle, l'angle `\widehat{ABC}`, démontrant ainsi la polyvalence de cette formule.
• Question 4 : On complète le triangle en un parallélogramme `ABDC`. Il faut utiliser une propriété spécifique des parallélogrammes, l'égalité `AD^2 + BC^2 = 2(AB^2 + AC^2)`, pour calculer la longueur de la diagonale `AD`.

Exercice 3 : Travail d'une force (6 points)

Cet exercice illustre une application classique du produit scalaire en physique : le calcul du travail d'une force. Le contexte est celui d'une caisse tirée par une corde.

• Question 1 : Le travail `W` de la force `\vec{F}` est défini par le produit scalaire `W = \vec{F} \cdot \vec{AB}`. Il faut le calculer en utilisant la formule avec le cosinus de l'angle entre la force et le déplacement.
• Question 2 : Cette question fait le lien entre le produit scalaire et la projection orthogonale. On calcule la composante horizontale de la force et on vérifie qu'elle permet de retrouver le travail, illustrant que `\vec{F} \cdot \vec{AB}` est le produit de la norme du projeté par la norme du vecteur sur lequel on projette.
• Question 3 : On analyse le travail du poids, une force verticale, lors d'un déplacement horizontal. Comme les vecteurs sont orthogonaux, le produit scalaire (et donc le travail) est nul.
• Question 4 : On introduit une seconde force et on utilise la propriété de distributivité du produit scalaire pour calculer le travail total : `(\vec{F} + \vec{F_2}) \cdot \vec{AB} = \vec{F} \cdot \vec{AB} + \vec{F_2} \cdot \vec{AB}`.

Exercice 4 : Vrai ou faux ? (3 points)

Ce dernier exercice rapide évalue la compréhension des propriétés fondamentales du produit scalaire à travers trois affirmations à justifier.

• Affirmation 1 : `si \vec{u} \cdot \vec{v} = 0, alors \vec{u} = \vec{0} ou \vec{v} = \vec{0}`. Il faut reconnaître que c'est faux en donnant un contre-exemple de deux vecteurs non nuls et orthogonaux.
• Affirmation 2 : `pour tout vecteur \vec{u}, \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2`. C'est une propriété fondamentale (carré scalaire) qui est vraie.
• Affirmation 3 : `si \vec{u} et \vec{v} sont non nuls et \vec{u} \cdot \vec{v} < 0, alors l'angle entre \vec{u} et \vec{v} est obtus`. C'est vrai, car le signe du produit scalaire dépend du signe du cosinus de l'angle.