Analyse du Contrôle Corrigé sur les Probabilités Conditionnelles (Première STI2D)

Ce sujet de mathématiques, destiné aux élèves de Première STI2D, est une évaluation complète sur le chapitre des probabilités conditionnelles. D'une durée de 1h30, il balaye les compétences essentielles à travers quatre exercices variés : l'utilisation des tableaux croisés d'effectifs, la construction et l'exploitation d'arbres de probabilités, le calcul de probabilités conditionnelles et d'intersections, ainsi que la vérification de connaissances fondamentales. Ce corrigé détaillé vous permettra de vous préparer efficacement à une évaluation sur ce thème. Mots clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Première STI2D, probabilités conditionnelles, arbre pondéré, tableau croisé, indépendance.

Exercice 1 : Un filtre anti-spam (6 points)

Cet exercice met en scène une situation concrète : le tri de 5 000 emails par un filtre anti-spam. Les événements étudiés sont \(S\) : « le message est un spam » et \(B\) : « le message est bloqué par le filtre ». Il s'agit d'un excellent cas d'étude pour manipuler les tableaux à double entrée.

• Question 1 : La première étape consiste à traduire les données de l'énoncé (20% de spams, 950 spams bloqués, 120 légitimes bloqués) pour remplir un tableau croisé d'effectifs. Il faut calculer le nombre total de spams (\(5000 \times 0.20 = 1000\)), de messages légitimes, puis déduire les effectifs de chaque catégorie (spam bloqué, spam non bloqué, etc.).
• Question 2 : On demande de calculer des probabilités simples et d'intersection à partir du tableau : \(P(S)\), \(P(B)\), et \(P(S \cap B)\). Par exemple, \(P(B) = \frac{\text{Total bloqués}}{\text{Total messages}}\).
• Questions 3 et 4 : Ces questions portent sur le calcul et l'interprétation de probabilités conditionnelles. Il faut calculer \(P_S(B)\) (la probabilité qu'un message soit bloqué sachant que c'est un spam) et \(P_{\bar{S}}(B)\) (la probabilité qu'un message soit bloqué sachant qu'il est légitime), puis formuler une phrase claire pour chaque résultat.
• Questions 5 et 6 : Ici, on inverse la condition. On demande \(P_B(S)\) (probabilité qu'un message soit un spam sachant qu'il est bloqué) et \(P_{\bar{B}}(S)\). C'est un test classique de la bonne compréhension de la formule des probabilités conditionnelles : \(P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\).
• Question 7 : Une question d'analyse qui demande de juger, en s'appuyant sur les effectifs, quelle erreur du filtre est la plus préjudiciable pour l'utilisateur, ce qui teste la capacité à lier les résultats mathématiques à une situation réelle.

Exercice 2 : Un festival de musique (5 points)

Le deuxième exercice continue sur la manipulation des probabilités, mais en partant de probabilités données (\(P(T)\), \(P(C)\), \(P(T \cap C)\)) plutôt que d'effectifs bruts. Les événements sont \(T\) : « il est venu en train » et \(C\) : « il dort sur le camping ».

• Question 1 : L'objectif est de dresser un tableau croisé d'effectifs pour 500 festivaliers en se basant sur les probabilités fournies. Il faut donc d'abord calculer les effectifs correspondants (par exemple, \(Card(T) = 500 \times P(T)\)).
• Question 2 : Calcul de probabilités conditionnelles \(P_T(C)\) et \(P_C(T)\).
• Question 3 : Cette question est cruciale car elle évalue la capacité à traduire des phrases en langage probabiliste. Par exemple, « parmi les festivaliers qui ne sont pas venus en train, 42,5% dorment au camping » doit être transcrit en \(P_{\bar{T}}(C) = 0.425\).
• Question 4 : La dernière question aborde la notion d'indépendance de deux événements en demandant de comparer \(P_T(C)\) et \(P(C)\). Si les probabilités sont différentes, les événements sont dépendants, ce qui signifie que le moyen de transport est lié au choix de logement.

Exercice 3 : Le tir à l'arc (6 points)

Cet exercice change de contexte et se concentre sur les arbres de probabilités et les expériences répétées et indépendantes (schéma de Bernoulli).

• Question 1 : Pour deux tirs successifs, il faut d'abord construire un arbre de probabilités pondéré, puis l'utiliser pour calculer la probabilité d'événements comme « atteindre la cible les deux fois » (\(P(A \cap A)\)) ou « l'atteindre exactement une fois ».
• Question 2 : L'expérience est étendue à trois tirs. On calcule la probabilité de n'avoir aucun succès, puis on en déduit, en utilisant l'événement contraire, la probabilité d'avoir « au moins un succès ». C'est une méthode classique et très efficace.
• Question 3 : La situation se complexifie avec l'introduction d'une deuxième archère aux performances différentes. Il faut calculer la probabilité qu'exactement une des deux atteigne la cible, ce qui implique de considérer deux scénarios disjoints : (Archère 1 réussit ET Archère 2 échoue) OU (Archère 1 échoue ET Archère 2 réussit).

Exercice 4 : Vrai ou faux (3 points)

Ce dernier exercice rapide est un questionnaire de cours qui vise à vérifier la compréhension de concepts clés et à déjouer les pièges courants.

• Affirmation 1 : Teste la confusion fréquente entre \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\). Il est essentiel de savoir qu'elles ne sont généralement pas égales.
• Affirmation 2 : Vérifie une propriété fondamentale des arbres pondérés : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est toujours égale à 1.
• Affirmation 3 : Met en évidence la différence entre une probabilité très élevée et la certitude. Un événement peut être quasi certain sans être certain (sa probabilité est proche de 1 mais pas exactement 1).