Analyse du sujet de mathématiques : Probabilités Conditionnelles (Niveau Première STI2D)

Ce document présente un contrôle de mathématiques corrigé destiné aux élèves de Première STI2D. Le sujet porte exclusivement sur le chapitre des probabilités conditionnelles, un pilier du programme de lycée. D'une durée d'une heure, cette évaluation, avec calculatrice autorisée, est structurée en trois exercices progressifs. Elle permet de balayer les compétences essentielles liées à l'utilisation des tableaux croisés d'effectifs, des arbres pondérés, et à l'interprétation des probabilités conditionnelles et de l'indépendance. C'est une excellente ressource pour s'entraîner et réviser avant une évaluation.

Exercice 1 : Contrôle qualité par capteur (7 points)

Cet exercice plonge l'élève dans un contexte industriel concret : le contrôle qualité de pièces à l'aide d'un capteur optique. Sur un lot de 2000 pièces, on étudie la détection des pièces défectueuses. Les événements principaux sont notés \(D\) : « la pièce est défectueuse » et \(S\) : « la pièce est signalée par le capteur ».

Les questions visent à tester la capacité à organiser et interpréter les données :

• 1. Compléter un tableau croisé d'effectifs : La première étape consiste à traduire les informations textuelles (pourcentages et nombres bruts) en un tableau à double entrée structuré (Signalée/Non signalée, Défectueuse/Conforme). Par exemple, il faut calculer le nombre total de pièces défectueuses : \(5\% \times 2000 = 100\).
• 2. Calcul de probabilités fondamentales : L'élève doit calculer des probabilités simples comme \(P(D)\) et \(P(S)\), ainsi que la probabilité d'une intersection \(P(D \cap S)\) à partir du tableau.
• 3. Calcul et interprétation d'une probabilité conditionnelle : Il est demandé de calculer \(P_D(S)\), c'est-à-dire la probabilité qu'une pièce soit signalée sachant qu'elle est défectueuse. Cette valeur, appelée la sensibilité du capteur, est cruciale pour évaluer sa performance.
• 4. Calcul d'une autre probabilité conditionnelle : De manière symétrique, on calcule \(P_{\bar{D}}(\bar{S})\), la probabilité qu'une pièce non signalée soit conforme. C'est la spécificité du test.
• 5. & 6. Inversion de la condition et application : Les dernières questions demandent le calcul de \(P_S(D)\) (probabilité qu'une pièce soit défectueuse sachant qu'elle a été signalée) et \(P_{\bar{S}}(D)\). Ces "probabilités inversées" sont souvent les plus pertinentes dans la pratique et permettent de juger de la pertinence de mettre au rebut une pièce signalée ou de l'importance pour le client de recevoir des pièces non signalées.

Exercice 2 : Télétravail (5 points)

Le deuxième exercice aborde une thématique actuelle, le télétravail, via une enquête menée auprès de 400 salariés. Les événements étudiés sont \(V\) : « le salarié habite en ville » et \(T\) : « le salarié télétravaille ». Contrairement à l'exercice 1, les données initiales sont des probabilités : \(P(V) = 0,6\), \(P(T) = 0,35\) et \(P(V \cap T) = 0,25\).

Ce problème se concentre sur la manipulation des formules et l'évaluation de l'indépendance :

• 1. Dresser le tableau croisé d'effectifs : L'élève doit d'abord convertir les probabilités en effectifs (par exemple, nombre de personnes habitant en ville : \(0,6 \times 400 = 240\)) pour remplir le tableau.
• 2. Calcul de probabilités conditionnelles : On applique directement les formules pour trouver \(P_V(T)\) et \(P_T(V)\) à partir des données du tableau ou des probabilités initiales.
• 3. Traduction de phrases en langage probabiliste : C'est une compétence clé qui consiste à associer une phrase du langage courant à une notation mathématique précise. Par exemple, « parmi les télétravailleurs, environ 71% habitent en ville » se traduit par \(P_T(V) \approx 0,71\).
• 4. Comparaison et indépendance : La dernière question amène à comparer \(P_V(T)\) (la probabilité de télétravailler sachant qu'on habite en ville) avec \(P(T)\) (la probabilité globale de télétravailler). Si ces probabilités sont différentes, cela suggère que les événements ne sont pas indépendants et que le lieu d'habitation a une influence sur le fait de télétravailler.

Exercice 3 : Prélèvements successifs (8 points)

Le dernier exercice modélise des tirages successifs et indépendants, ce qui constitue une introduction au schéma de Bernoulli et à la loi binomiale. On suppose que la probabilité qu'une pièce soit défectueuse (\(D\)) est de \(0,05\).

L'exercice est construit autour de l'utilisation d'arbres de probabilités :

• 1. Étude de deux prélèvements : Il faut d'abord construire un arbre de probabilités à deux niveaux. Ensuite, on calcule la probabilité de l'événement \(D_1 \cap D_2\) (deux défectueuses) en multipliant les probabilités sur la branche correspondante, puis la probabilité d'avoir "exactement une pièce défectueuse" en additionnant les probabilités des deux branches concernées (\(D_1 \cap \bar{D_2}\) et \(\bar{D_1} \cap D_2\)).
• 2. Étude de trois prélèvements : L'arbre est étendu à trois niveaux. Les questions portent sur :
  • Le calcul de la probabilité qu'aucune pièce ne soit défectueuse.
  • L'utilisation de l'événement contraire pour en déduire la probabilité qu'au moins une pièce soit défectueuse.
  • Le calcul de la probabilité qu'exactement une pièce soit défectueuse, ce qui renforce la méthodologie vue à la question précédente.
• 3. Combinaison d'événements indépendants : Une question finale introduit une seconde chaîne de production avec une probabilité de défaut différente (\(0,1\)). On prélève une pièce de chaque chaîne et on doit calculer la probabilité d'obtenir exactement une pièce défectueuse au total, illustrant le calcul sur des événements indépendants mais non identiquement distribués.

Ce sujet de maths Première STI2D est donc un excellent outil pour maîtriser les bases des probabilités conditionnelles, un prérequis indispensable pour la suite du programme de Terminale.