Introduction
Dans cette leçon, nous allons nous amuser à résoudre des équations avec le sinus. En particulier, nous allons nous intéresser aux cas où ce que nous avons à l'intérieur du sinus n'est pas simplement un \(x\), mais par exemple une fonction affine.
Résolution d'une équation avec sinus
Prenons une équation comme \(\sin(3x - \pi) = -\frac{1}{2}\). Vous pourriez penser qu'il n'y a aucun moyen de résoudre cela. Cependant, nous savons résoudre une équation où le sinus de quelque chose vaut \(-\frac{1}{2}\). Pourquoi ? Parce que si le sinus de ce "quelque chose" vaut \(-\frac{1}{2}\), cela signifie que ce "quelque chose" est l'angle qui vous permet d'atteindre \(-\frac{1}{2}\), c'est-à-dire \(-\frac{\pi}{6}\).
Donc, quand nous avons \(\sin(\text{quelque chose}) = -\frac{1}{2}\), notre premier réflexe est de dire que ce "quelque chose" est en fait \(-\frac{\pi}{6}\). Nous avons déjà vu comment résoudre ce type d'équation dans d'autres vidéos.
Isolation de l'inconnue
Pour résoudre notre équation, nous faisons apparaître un angle \(\theta\) tel que \(\theta = 3x - \pi\). Ensuite, nous pouvons conclure directement que \(\theta = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(\theta = \pi - \(-\frac{\pi}{6}\) + 2k\pi\).
Rappelons que \(\pi - \(-\frac{\pi}{6}\) = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}\).
Cependant, ce que nous cherchions n'était pas la valeur de \(\theta\), mais la valeur de \(3x - \pi\). En fait, pour résoudre notre équation, nous remplaçons simplement \(\theta\) par \(3x - \pi\), ce qui donne \(3x - \pi = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(3x - \pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\).
Pour trouver la valeur de \(x\), nous prenons ces équations et nous nous débarrassons de \(\pi\) et de \(3\). Cela donne \(3x = -\frac{\pi}{6} + \pi + 2k\pi\) ou \(3x = \frac{7\pi}{6} + \pi + 2k\pi\). En simplifiant, nous obtenons \(3x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(3x = \frac{13\pi}{6} + 2k\pi\).
Enfin, nous nous débarrassons du \(3\) en divisant chaque côté par \(3\), ce qui donne \(x = \frac{5\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}\) ou \(x = \frac{13\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}\), où \(k\) est un entier.
Conclusion
Pour résumer, nous commençons par résoudre l'équation en faisant comme si nous avions \(\theta\) à la place de \(3x - \pi\). Une fois que nous avons résolu l'équation, nous remplaçons \(\theta\) par \(3x - \pi\). Ensuite, nous isolons \(x\) en nous débarrassant de \(\pi\) et de \(3\). C'est aussi simple que cela.