4. Déterminer la périodicité graphiquement

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir concrètement et graphiquement qu'est-ce que c'est que la périodicité d'une fonction et comment trouver la période en regardant le schéma. On se fait ça tout de suite.

La périodicité d'une fonction

La périodicité d'une fonction c'est la capacité d'une fonction à se reproduire dans le temps. Imaginez que cette fonction-là, ça soit par exemple les pulsations sonores ou le mouvement d'une vague. Vous voyez bien que quand le temps passe, notre vague elle va monter très haut, descendre, remonter un peu, monter très haut, descendre, remonter un peu, monter très haut, descendre, remonter un peu et ainsi de suite. Donc vous voyez qu'il y a une répétition. Et bien, la périodicité ça veut dire qu'on peut trouver un nombre tel que \(f(x + T)\) soit égal à \(f(x)\).

Comment trouver la période d'une fonction

Je cherche un endroit, par exemple quand je prends un \(x\) ici et que je lis \(f(x)\), je cherche un \(x + T\) qui me donnerait la même image. Autrement dit, je cherche un endroit où j'ai la même image, par exemple ici. Sauf que ici, si là c'est \(x\), ici ça va être \(x + T\) et j'ai bien \(f(x + T)\) qui est égal à \(f(x)\). Vous voyez bien que ici et ici on arrive au même endroit. Du coup, notre période ça pourrait être cette longueur. Comme certains d'entre vous l'ont déjà vu en physique en Première et en Terminale, ça c'est la période de longue qui est là, c'est-à-dire c'est la durée qu'il faut pour que l'onde se répète, qu'elle passe en haut, en bas, en haut et qu'elle redescend puis elle repart en haut, en bas, en haut et elle redescend et ainsi de suite. Problème, elle se répète entre ici et ici mais je pourrais très bien dire qu'elle se répète entre ici et là. Du coup, ma période ça pourrait être aussi ça, mais ça pourrait être aussi cette période là. Donc vous vous rendez compte que tous les multiples de cette période, genre deux fois cette période, trois fois cette période, sont aussi des périodes. Du coup, on est obligé de choisir laquelle des deux on veut et évidemment on va pas prendre ni la plus grande, ni la moyenne, ni toutes les autres, on va prendre la plus petite. Donc la période c'est la plus petite durée pour que la courbe se reproduise, donc la plus petite longueur que je puisse trouver pour que \(f(x)\) soit égal à \(f(x + T)\). On vous a mis juste en dessous des exercices, allez les faire pour apprendre à le voir graphiquement et dans 5 minutes on se fait ça par le calcul. À vous de jouer, vous êtes des champions.