5. Utiliser les nombres complexes pour trouver la longueur et l'angle d'un vecteur

Introduction

Allons-y, les amis, nous allons voir comment résoudre ce genre de problème, c'est-à-dire trouver la norme d'un vecteur et son angle par rapport à l'horizontale en utilisant les nombres complexes. Vous allez voir, c'est très simple et très puissant grâce aux affixes.

Rappel sur les nombres complexes

Un petit rappel pour commencer : vous vous souvenez qu'un point dans le plan complexe, avec les réels ici et les imaginaires là, par exemple le point C, peut avoir une affixe, par exemple \(3 + 2i\). Le 3 est la partie réelle sur l'axe horizontal et le 2 est sa partie imaginaire sur l'axe vertical. Concernant \(3 + 2i\), on a le module de \(3 + 2i\) qui se note avec des barres verticales et qui est en fait cette longueur, c'est-à-dire la longueur entre l'origine et le point C. On a aussi l'argument de \(3 + 2i\) qui est l'angle que fait cette droite avec l'horizontal.

Application aux vecteurs

Cette logique peut être retrouvée exactement avec des vecteurs. Quand vous avez deux points A et B, dont vous avez donné les affixes, par exemple \(1 + 3i\) pour A et \(3 + 5i\) pour B, vous avez le droit de trouver l'affixe du vecteur AB. Cette affixe va se noter Z, comme dans les nombres complexes. Z du vecteur AB vaut l'affixe du point B moins l'affixe du point A, autrement dit \(3 + 5i - (1 + 3i)\), et avec un peu de nettoyage, ça donne \(2 + 2i\). Donc ce vecteur AB a une affixe complexe, de la même manière que le point A avait une affixe qui valait \(1 + 3i\) et que le point B avait une affixe qui valait \(3 + 5i\). On a le droit d'associer une affixe à ce vecteur, et le module de \(2 + 2i\) va être la longueur AB et l'argument de \(2 + 2i\) va être l'angle que fait AB avec l'horizontale. Si je veux la distance AB, c'est-à-dire la longueur du vecteur AB, j'ai juste à calculer le module de \(2 + 2i\), et je sais que le module de \(2 + 2i\) c'est la racine carrée de la somme des carrés de la partie réelle et de la partie imaginaire, donc \(\sqrt{2^2 + 2^2}\), ce qui donne \(\sqrt{8}\) ou éventuellement \(2\sqrt{2}\). Pour trouver l'angle que fait le vecteur AB avec l'horizontal, on a juste à prendre \(2 + 2i\) et à le mettre sous forme trigonométrique pour trouver la valeur de l'angle.

Conclusion

Souvenez-vous que de la même manière que des points peuvent avoir des affixes, des vecteurs peuvent aussi avoir des affixes. On peut très facilement calculer leur norme et l'angle qu'ils font par rapport à l'horizontal. Vous avez plein d'exercices en dessous pour vous entraîner, ils se corrigent tout seuls et vous pouvez recommencer autant de fois que vous voulez. Vous êtes des champions !