17. Retrouver par le calcul un cercle solution d'une équation

Introduction

Allons-y, les amis, nous allons voir comment résoudre ce type d'exercice : retrouver l'ensemble des points \(M\) qui ont une affixe \(Z\). On vous donne une équation sur l'affixe. Cette équation implique des normes. Nous n'allons pas le faire de manière géométrique, mais de manière analytique, contrairement à la compétence précédente, qui est la compétence 16. Faisons tout cela dans la joie et la bonne humeur. C'est parti pour résoudre ce type de problème.

Réécriture de l'équation

Je réécris mon équation : \(\overline{Z} - i = \sqrt{2}\). Si nous n'avions pas ce petit bar qui nous embêtait, c'est-à-dire si nous avions juste \(Z - i = \sqrt{2}\), nous aurions pu utiliser la fiche de la formule qui dit que \(z_B - z_A\) c'est l'affixe du vecteur \(AB\). Et donc dire que cela c'est l'affixe du point \(M\). D'après l'énoncé, on pourrait dire que \(i\) c'est l'affixe d'un certain point \(A\) et que donc \(Z - i\) en fait c'est \(Z_M - Z_A = \sqrt{2}\) et qu'en fait \(Z_M - Z_A\) c'est tout simplement l'affixe du vecteur \(AM\) qui vaut \(\sqrt{2}\). Et l'affixe du vecteur \(AM\) c'est tout simplement la longueur \(AM\) qui vaudrait \(\sqrt{2}\). Donc je cherche tous les points \(M\) qui sont à une distance de \(\sqrt{2}\) du point \(A\). Et donc si je mets mon point \(A\) ici, si là je suis à une distance de \(\sqrt{2}\), mon point \(M\) peut y être, mais il peut aussi être là, il peut aussi être là, il peut aussi être là, et vous reconnaissez un cercle de rayon \(\sqrt{2}\). C'est ce que nous aurions aimé faire si nous n'avions pas ce \(\overline{Z}\) qui nous embêtait.

Technique analytique

Le problème c'est que cette technique ne fonctionnera pas, nous allons être obligés de passer par une technique analytique. C'est une technique de calcul et c'est ce que je vous conseille de faire dans tous les cas quand vous avez un conjugué, parce qu'avec le conjugué, faire de la géométrie pure c'est très compliqué. Donc pour résoudre ce type de problème, nous allons dire tout simplement que mon \(Z\) finalement c'est une partie réelle plus \(i\) une partie imaginaire. Nous allons intégrer cela dans l'équation et nous allons nous débrouiller pour arriver à une équation. Le conjugué \(Z\) c'est donc \(X - iY - i\), en norme égale à \(\sqrt{2}\). Je factorise donc cela me fait \(X + i(Y - 1)\), en norme égale à \(\sqrt{2}\). Là j'ai bien une forme réel plus \(i\) réel, donc réel plus partie imaginaire. Donc je sais que la norme, comme c'est écrit sur la fiche en bas à droite, c'est la racine de la partie réelle au carré plus la partie imaginaire au carré. Donc cet objet là c'est tout simplement \(\sqrt{X^2 + (Y - 1)^2} = \sqrt{2}\). Je passe tout au carré : \(X^2 + (Y - 1)^2 = 2\). Je change légèrement la chose : \(X - 0)^2 + (Y - 1)^2 = \sqrt{2}^2\). Et félicitations, vous retrouvez la magnifique équation d'un cercle de rayon \(\sqrt{2}\) et de centre \(\Omega\) qui vaut \(0,1\). Dans le chapitre de première géométrie repérée, il y a une superbe vidéo que nous avons faite qui vous permet de transformer une équation comme celle-ci en l'équation d'un cercle. Vraiment, faites ce chapitre de première géométrie repérée. La compétence, c'est de retrouver l'équation d'un cercle ou de retrouver le centre et le rayon d'un cercle pour apprendre à faire ce truc. Donc l'ensemble des points qui permettent d'avoir une affixe \(Z\) qui résout cette équation, c'est les points dans le plan complexe qui sont sur le cercle de centre \(0,1\) et de rayon \(\sqrt{2}\). Et c'est aussi simple que ça, et on n'est pas obligé de passer par de la géométrie. Nous vous en avons mis quelques-uns en dessous, très faciles, pour un petit entraînement bien calibré. Vous pouvez les recommencer, ils sont juste là. À vous de jouer, vous êtes des champions.